考研高等數學解題思想總結(精華十七篇)

考研高等數學解題思想總結(精華十七篇)。

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第一章：函數與極限

1.理解函數的概念，掌握函數的表示方法。

2.會建立簡單應用問題中的函數關系式。

3.了解函數的奇偶性、單調性、周期性、和有界性。

4.掌握基本初等函數的性質及圖形。

5.理解復合函數及分段函數的有關概念，了解反函數及隱函數的概念。

6.理解函數連續性的概念(含左連續和右連續)會判別函數間斷點的類型。

7.理解極限的概念，理解函數左極限與右極限的概念，以及極限存在與左右極限間的關系。

8.掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。

9.掌握極限性質及四則運算法則。

10.理解無窮孝無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限。

第二章：導數與微分

1.理解導數與微分的概念，理解導數與微分的關系，理解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數的物理意義，會用導數描寫一些物理量，理解函數的可導性與連續性之間的關系。

2.掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，掌握初等函數的求導公式，了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求初等函數的微分。

3.會求隱函數和參數方程所確定的函數以及反函數的'導數。

4.會求分段函數的導數，了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數。

第三章：微分中值定理與導數的應用

1.熟練運用微分中值定理證明簡單命題。

2.熟練運用羅比達法則和泰勒公式求極限和證明命題。

3.了解函數圖形的作圖步驟。了解方程求近似解的兩種方法：二分法、切線法。

4.會求函數單調區間、凸凹區間、極值、拐點以及漸進線、曲率。

第四章：不定積分

1.理解原函數和不定積分的概念，掌握不定積分的基本公式和性質。

2.會求有理函數、三角函數、有理式和簡單無理函數的不定積分

3.掌握不定積分的分步積分法。

4.掌握不定積分的換元積分法。

第五章：定積分

1.理解定積分的概念，掌握定積分的性質及定積分中值定理。

2.掌握定積分的換元積分法與分步積分法。

3.了解廣義積分的概念，并會計算廣義積分，

4.掌握反常積分的運算。

5.理解變上限定積分定義的函數，會求它的導數，掌握牛頓萊布尼茨公式。

第六章：定積分的應用

1.掌握用定積分計算一些物理量(功、引力、壓力)。

2.掌握用定積分表達和計算一些幾何量(平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積和側面積、平行截面面積為已知的立體體積)及函數的平均值。

第七章：微分方程

1.了解微分方程及其解、階、通解、初始條件和特解等概念。

2.會解奇次微分方程，會用簡單變量代換解某些微分方程.

3.掌握可分離變量的微分方程，會用簡單變量代換解某些微分方程。

4.掌握二階常系數齊次微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數齊次微分方程。

5.掌握一階線性微分方程的解法，會解伯努利方程.

6.會用降階法解下列微分方程y=f(x，y).

7.會解自由項為多項式，指數函數，正弦函數，余弦函數，以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程。

8.會解歐拉方程。

第八章：空間解析幾何與向量代數

1.理解空間直線坐標系，理解向量的概念及其表示。

2.掌握向量的數量、積向量積、混合積并能用坐標表達式進行運算，了解兩個向量垂直、平行的條件。

3.掌握向量的線性運算，掌握單位向量、方向角與方向余弦，掌握向量的坐標表達式掌握用坐標表達式進行向量運算方法。

4.掌握直線方程的求法，會利用平面、直線的相互關系解決有關問題，會求點到直線及點到平面的距離。

5.掌握平面方程及其求法，會求平面與平面的夾角，并會用平面的相互關系(平行相交垂直)解決有關問題。

6.理解曲面方程的概念，了解二次曲面方程及其圖形，會求以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程。

7.了解空間曲線的概念，了解空間曲線的參數方程和一般方程，了解空間曲線在坐標平面上的投影，并會求其方程。

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作為高校，結合我校文科生的現狀，現在文科高等數學教學上存在以下一些問題：

1.1文科生個體差異性較大、數學基礎比較薄弱。高等數學具有運算復雜、內容抽象、應用廣泛等特點，因而大部分文科生在潛意識中對數學存在畏難心理，加之近年高校的不斷擴招，生源質量得不到保證，學生整體素質下降已成為一個不容忽視的現實。還有相當一部分文科生之所以選擇文科專業是因數學成績不理想，他們普遍認為數學單調乏味、難于理解，無形中就更增加了文科生學習高等數學的難度。

1.2文科生在學習高等數學過程中缺乏學習興趣、學習動機不明確。數學學習動機直接推動學生進行數學學習，它是學生個人的心理需求、企圖達到目標的一種內在動力?，F實中，數學科學與人文科學的聯系越來越密切，數學里面處處顯現哲學等人文科學。教師要向學生講明兩者的辯證關系，在教學中不斷激發學生的學習動機和興趣，逐步培養良好的學習習慣與方法。

1.3教學方法簡單、形式單一。文科高等數學是近些年才開設的基礎學科，教師大多是從理工科教師中挑選的。這些教師雖然具有豐富的經驗，但對文科生的專業不很了解，對文科高等數學的教法還不熟悉，教學難以突出重點，且與學生專業內容聯系少，引不起學生的學習興趣。在教學實踐中，不能遵循“學生為主體、教師為主導”的教育理念，對深奧的定理、抽象的概念講得過多，以致學生學習興趣降低、教學效果較差。

1.4課程設置和教材內容還需進一步完善。教材的質量直接影響到教育質量的高低。當前，文科高等數學課程沒有通用的教學大綱，雖然目前教材的數量很多，但適宜文科生特點的教材很少。大部分是以理科高等數學為模本，通過簡單改編而成。教材中的內容多而雜，語言生硬抽象、難以理解，與許多文科專業聯系少、缺乏實用性。許多教師在教學過程中只專注講解教材內容，而缺少背景介紹和聯系實際應用。

從對滄州師范學院級文科類開設高等數學課程的市場營銷、旅游管理、金融保險等專業調查問卷的統計數據看，文科生中比較喜歡數學的占42%，文科專業學生中認為目前所學的高等數學內容比較難的占57%，學習高等數學比較吃力的占71%。從調查中我們發現“降低難度”“提高趣味”的比例較大，因此我們必須在這些方面下功夫、做文章。文科生的專業特點決定了高等數學在知識層面上不宜對學生有過高的要求，更不能成為他們學習的負擔。文科高等數學的教學要放棄單純的理論灌輸，教材內容必須考慮思維方式的培養、數學知識的結構優化，還要涉及文科生的專業特點，可以將一些應用較廣的內容補充進來。例如：要開設微積分、線性代數、微分方程等課程。微積分是高等數學教學的基本內容，也是許多課程的基礎，應用廣泛而深刻，這點必須向學生重點介紹。對于一些必要的計算，線性代數的應用比較廣泛，特別是對金融經濟學專業學生來說更為重要。還可以利用數學建模做些探索性的嘗試，形成邊學邊用的學習環境。

根據當今社會對高素質人才的渴求及文科生未來要從事的工作，結合高等數學學科的歷史特點、發展趨勢和作用來看，設置文科高等數學的目的大致有兩個方面：一是培養與增強文科生的理性思維、能力，提升文科生的整體素質;二是理解與掌握高等數學的基本思想、方法和內容。在這兩方面中對文科生來講應以前者為重，后者是前者的基礎，前者只有通過后者才能實現。一個人若具備良好的數學素質，可以更好地利用科學的方法和思維分析解決實際問題，提高創新意識、能力。隨著計算機的出現和IT產業的飛速發展，各門學科的融合、量化趨勢更促進了數學與其他學科的結合，這就要求文科生也應具備一定的數學素養。

俗話說：興趣是最好的老師。興趣能激活人的思維潛能，讓人主動去學習，并使人更多地接觸該領域的內容。依據文科專業的特性和學生自身特點，將數學文化融入到文科數學教學，不僅豐富教學內容更能激發學生的學習興趣。數學文化主要是指數學的思想、精神和方法。文科生不擅長抽象、邏輯思維，而發散、形象思維較好，分析綜合問題的能力和論證問題的能力較差，但對事物較敏感且具有文學知識的優勢等特點。在教學中盡可能將數學史融入其中，有很多以數學家的名字命名的定理，比如柯西定理、費馬引理等，在講這些內容時，都可以把背景知識介紹給學生，并盡可能將數學語言文學化、藝術化，使學生在學習數學分析、論證方法和理性思維的同時，感受到高數的魅力，不僅能掌握數學的精神、思想和方法，提高思維邏輯能力，同時也可以開闊眼界，激發他們的學習興趣。

數學家哈根莫斯說過：“最好的學習方法是激勵學生自己去動手、去思考，而不是講清事實?！币虼?，在課堂教學中應采取精講與勤練相結合的教學方法，讓學生多分析和思考、多提問題，并通過調查問卷等形式及時反饋學生的意見，不斷完善教學手段，以充分調動學生的積極性?？梢越柚嗝襟w技術使課堂教學變得更加生動和直觀，內容上也更具感染力和表現力。例如：在講授二重積分時，可先從討論計算曲邊梯形的面積之間的關系引出二重積分與曲頂柱體體積的關系，再利用多媒體使曲頂柱體劃分為小曲頂柱體的過程更直觀化，激發學生的學習興趣。另外，多關心學生的學習和生活，多采用鼓勵的方法促進教學，也會收到意想不到的效果。

當前，高等數學的考試方式一般是以閉卷考試為主，兼顧考查上課出勤及平時作業情況。這種評價方式存在的一大弊病就是以試卷成績決定學生的學習情況。這樣就會導致學生只知考前突擊、死記硬背，而不注重日常學習和積累。這種評價方式與我們的教育目的相悖，既不能反映學生t的真實水平，也不利于提高學生的數學素養，更難以調動學生的學習熱情。為了培養學生創新意識和提高數學應用能力，我們必須摒棄單一評價方式，對其進行合理優化，將考核方法改為閉卷和開卷相結合的方式，例如：用提交論文的形式把考查目標融入相應的實際問題，教師只負責指導，而讓學生利用各種方式親自動手搜集資料、尋找適當的解決方法，以此來考查學生對高等數學知識的認知程度和數學在各知識領域中的應用能力。

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一、高等數學考試內容包括：函數、極限、連續

考試要求

1、理解函數的概念

2、了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性。

3、理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念。

4、掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的概念。

5、理解極限的概念，理解函數左極限與右極限的概念以及函數極限存在與左、右極限之間的關系。

6、掌握極限的性質及四則運算法則。

7、掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法、

8、理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限。

9、理解函數連續性的概念（含左連續與右連續），會判別函數間斷點的類型。

10、了解連續函數的性質和初等函數的連續性，理解閉區間上連續函數的性質（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應用這些性質。

二、一元函數微分學

考試要求

1、理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關系，理解函數的可導性與連續性之間的關系。

2、掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，掌握基本初等函數的導數公式、了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數的微分。

3、了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數。

4、會求分段函數的導數，會求隱函數和由參數方程所確定的函數以及反函數的導數。

5、理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解并會用柯西中值定理。

6、掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。

7、理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數最大值和最小值的求法及其應用。

8、會用導數判斷函數圖形的凹凸性（注:在區間 內，設函數 具有二階導數。當 時， 的圖形是凹的；當 時， 的圖形是凸的），會求函數圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數的圖形。

9、了解曲率、曲率圓與曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑。

三、一元函數積分學

考試要求

1、理解原函數的概念，理解不定積分和定積分的概念。

2、掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法。

3、會求有理函數、三角函數有理式和簡單無理函數的積分。

4、理解積分上限的函數，會求它的導數，掌握牛頓-萊布尼茨公式。

5、了解反常積分的概念，會計算反常積分。

6、掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力、質心、形心等）及函數的平均值。

四、向量代數和空間解析幾何

考試要求

1、理解空間直角坐標系，理解向量的概念及其表示。

2、掌握向量的運算（線性運算、數量積、向量積、混合積），了解兩個向量垂直、平行的條件。

3、理解單位向量、方向數與方向余弦、向量的坐標表達式，掌握用坐標表達式進行向量運算的方法。

4、掌握平面方程和直線方程及其求法。

5、會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會利用平面、直線的相互關系（平行、垂直、相交等）解決有關問題。

6、會求點到直線以及點到平面的距離。

7、了解曲面方程和空間曲線方程的概念。

8、了解常用二次曲面的方程及其圖形，會求簡單的柱面和旋轉曲面的方程。

9、了解空間曲線的參數方程和一般方程、了解空間曲線在坐標平面上的投影，并會求該投影曲線的方程。

五、多元函數微分學

考試要求

1、理解多元函數的概念，理解二元函數的幾何意義。

2、了解二元函數的極限與連續的概念以及有界閉區域上連續函數的性質。

3、理解多元函數偏導數和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。

4、理解方向導數與梯度的概念，并掌握其計算方法。

5、掌握多元復合函數一階、二階偏導數的求法。

6、了解隱函數存在定理，會求多元隱函數的偏導數。

7、了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程。

8、了解二元函數的二階泰勒公式。

9、理解多元函數極值和條件極值的概念，并會解決一些簡單的應用問題。

六、多元函數積分學

考試要求

1、理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質，了解二重積分的中值定理。

2、掌握二重積分的計算方法（直角坐標、極坐標），會計算三重積分（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）。

3、理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質及兩類曲線積分的關系。

4、掌握計算兩類曲線積分的方法。

5、掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑無關的條件，會求二元函數全微分的原函數。

6、了解兩類曲面積分的概念、性質及兩類曲面積分的關系，掌握計算兩類曲面積分的方法，掌握用高斯公式計算曲面積分的方法，并會用斯托克斯公式計算曲線積分。

7、了解散度與旋度的概念，并會計算。

8、會用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長、質量、質心、形心、轉動慣量、引力、功及流量等）。

七、無窮級數

考試要求

1、理解常數項級數收斂、發散以及收斂級數的和的概念，掌握級數的基本性質及收斂的必要條件。

2、掌握幾何級數與 級數的收斂與發散的條件。

3、掌握正項級數收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法。

4、掌握交錯級數的萊布尼茨判別法。

5、 了解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念。

6、了解函數項級數的收斂域及和函數的概念。

7、理解冪級數收斂半徑的概念、并掌握冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域的求法。

8、會求一些冪級數在收斂區間內的和函數，并會由此求出某些數項級數的和。

9、了解函數展開為泰勒級數的充分必要條件。

10、掌握麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單函數間接展開成冪級數。

11、了解傅里葉級數的概念和狄利克雷收斂定理，會將定義在 上的函數展開為傅里葉級數，會將定義在 上的函數展開為正弦級數與余弦級數，會寫出傅里葉級數的和函數的表達式。

八、常微分方程

考試要求

1、了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念。

2、掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法。

3、會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換解某些微分方程、

4、會用降階法解下列形式的微分方程。

5、理解線性微分方程解的性質及解的結構。

6、掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數齊次線性微分方程。

7、會解自由項為多項式、指數函數、正弦函數、余弦函數以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程。

8、會解歐拉方程。

9、會用微分方程解決一些簡單的應用問題。

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相信許多剛進入大學的工科生和理科生們，遇到的第一個難題就是高等數學了吧。的確，高數是難度非常大的一門基礎課，比你把3年的高中數學用一年時間學完還要難哦，還牽扯到一些很難理解的概念，比如多元函數，復變函數等。但是它又是十分有用的一門課，基本上以后所有的專業課都會或多或少的用到高數的知識，學好它，大學的學術就成功了第一步。作為一個理工科生的基本素養，那應該怎樣學好這門神課呢?

認真聽課。

既然是高數課，自然是老師講課，而且據我本人的經驗來說，一周的高數課的節數肯定不會少哦。所以，老師上課就是最好的一個學習媒介。少年們，上課努力早起去做前排吧。如果老師夠認真負責，相信做好了這一步，那就基本上成功了一半啦~

買一本靠譜的考研書。

如果老師不認真負責，只會用蚊子般大小的聲音念念ppt怎么辦;或者我的老師只是一個年輕的青年教師，還沒有get上課的節奏怎么辦。根本聽不下去怎么辦。這個時候，不用慌張，其實還是有很多很好的選擇，我推薦去買一本厚厚的考研書，不用擔心，考研書就是幫你們復習大一的高數知識，而且上面通常整理的`非常好。各類例題也都是平時?？嫉念愋汀Ｈ绻懵牪幌氯サ脑挘湍亩愕浇淌业慕涣?，去啃那本考研的書吧，咱點名也在不是~~

做好筆記。

書上一些沒有的證明和老師上課隨性發揮的精華可是一瞬即逝的噠。做好筆記還有益于你上課認真專注。如果是自己看書也需要記筆記哦。

按時做作業。

還記得你高中時怎么沒日沒夜的做作業嗎，practice makes perfect，這句話是沒有錯的，高數的作業會有很多，而它對你學好高數的重要性也不言而喻的。而且，作業好還有平時分還高，最后總評也高不是。

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本章函數部分主要是從構建函數關系,或確定函數表達式等方面進行考查. 而極限作為高等數學的理論基礎,不僅需要準確理解它的概念、性質和存在的條件,而且要會利用各種方法求出函數(或數列)的極限,還要會根據題目所給的極限得到相應結論. 連續是可導與可積的重要條件,因此要熟練掌握判斷函數連續性及間斷點類型的方法,特別是分段函數在分段點處的連續性. 與此同時，還要了解閉區間上連續函數的相關性質(如有界性、介值定理、零點定理、最值定理等),這些內容往往與其他知識點結合起來考查.

本章的知識點可以以多種形式 (如選擇題、填空題、解答題均可)考查,平均來看,本章內容在歷年考研試卷中數學一、數學三大約占10分,數學二大約占19分.

本章重要題型主要有：1、求極限;2、已知極限反求參數;3、無窮小階的比較;4、間斷點類型的.判斷。

本章按內容可以分為兩部分：第一部分是導數與微分,主要涉及微分學的基本概念、可導性與可微性的討論，以及導數和微分的計算。此部分一定要注意導數的定義，對它有一個正確的理解，包括導數概念的一些充要條件要清楚;同時要能熟練求一元復合函數、反函數、隱函數、由參數方程所確定函數的二階導數。第二部分是微分中值定理及導數的應用,主要是利用導數研究函數的性態，以及利用中值定理證明或解決一些問題.這是一個比較大的內容，函數的單調性、凹凸性以及方程根的應用都會在這塊內容當中出題，這是一個難點，還有一個難點，就是關于微分中值定理，關于這一部分的證明題，需要大家掌握常見的解題思路。

有關可導性、可微性、導數和微分的計算以及導數的應用，可以結合其他知識點以任何形式出題. 而微分中值定理常用在解答題中,特別是用于證明有關中值的等式或不等式.平均來看,本章內容在歷年考研試卷中數學一大約占12分,數學二大約占36分,數學三大約占10分.

本章重要題型有：1、導數定義和幾何意義;2、復合函數、反函數、隱函數和參數方程所確定的函數的求導;3、含中值等式或不等式的證明;4、利用導數研究函數的形態(判斷單調、求極值與最值、求凹凸區間與拐點);5、方程的根的個數的討論;6、漸近線;7、求邊際和彈性(數三)。

本章內容中，不定積分和定積分是積分學的基本概念，不定積分和定積分的計算是積分學的基本計算，利用定積分表示并計算一些幾何、物理、經濟量是積分學的基本應用。這一部分要特別注意變限積分，它的各種性質都是我們考查的重點。變上限積分函數跟微分方程結合的一個點也可以出題的。還有定積分的應用，求平面圖形面積，求旋轉體的體積，一定要熟悉，要掌握好微元法。

本章對概念部分的考查主要是出現在選擇題中，對運算部分的考查通常出現在填空題和解答題中，而定積分的應用和有關定積分的證明題大多出現在解答題中.平均來看，本章內容在歷年考研試卷中，數學一大約占15分，數學二大約占33分，數學三大約占20分。

本章重要題型有：1、不定積分、定積分和反常積分的基本運算;2、定積分等式或不等式的證明;3、變上限積分的相關問題;4、利用定積分求平面圖形的面積和旋轉體的體積。

本章內容不是考研重點，很少直接命題。直線與平面方程是多元函數微分學的幾何應用的基礎，常見二次曲面的圖形被應用到三重積分、曲面積分的計算中，用于確定積分區域。

以上是我們對于高數部分上冊重點考點的一些總結，希望能助大家一臂之力。最后祝廣大考生復習順利，考研成功!

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考研數學復習已經開始，考研高等數學基本定理定義需要在備考初期扎實掌握。下面為大家提供2015考研數學高等數學第一章到第八章定理定義匯總。

1、函數的有界性在定義域內有f(x)≥K1則函數f(x)在定義域上有下界，K1為下界;如果有f(x)≤K2，則有上界，K2稱為上界。函數f(x)在定義域內有界的充分必要條件是在定義域內既有上界又有下界。

2、數列的極限定理(極限的唯一性)數列{xn}不能同時收斂于兩個不同的極限。

定理(收斂數列的有界性)如果數列{xn}收斂，那么數列{xn}一定有界。

如果數列{xn}無界，那么數列{xn}一定發散;但如果數列{xn}有界，卻不能斷定數列{xn}一定收斂，例如數列1，-1，1，-1，(-1)n+1…該數列有界但是發散，所以數列有界是數列收斂的必要條件而不是充分條件。

定理(收斂數列與其子數列的關系)如果數列{xn}收斂于a，那么它的任一子數列也收斂于a.如果數列{xn}有兩個子數列收斂于不同的極限，那么數列{xn}是發散的，如數列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子數列{x2k-1}收斂于1，{xnk}收斂于-1，{xn}卻是發散的;同時一個發散的數列的子數列也有可能是收斂的。

定理(極限的局部保號性)如果lim(x→x0)時f(x)=A，而且A>0(或A0(或f(x)>0)，反之也成立。

函數f(x)當x→x0時極限存在的充分必要條件是左極限右極限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等則limf(x)不存在。

一般的說，如果lim(x→∞)f(x)=c，則直線y=c是函數y=f(x)的圖形水平漸近線。如果lim(x→x0)f(x)=∞，則直線x=x0是函數y=f(x)圖形的鉛直漸近線。

4、極限運算法則定理有限個無窮小之和也是無窮小;有界函數與無窮小的乘積是無窮小;常數與無窮小的乘積是無窮小;有限個無窮小的乘積也是無窮小;定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.

5、極限存在準則兩個重要極限lim(x→0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夾逼準則如果數列{xn}、{yn}、{zn}滿足下列條件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，對于函數該準則也成立。

單調有界數列必有極限。

6、函數的連續性設函數y=f(x)在點x0的某一鄰域內有定義，如果函數f(x)當x→x0時的極限存在，且等于它在點x0處的函數值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就稱函數f(x)在點x0處連續。

不連續情形：1、在點x=x0沒有定義;2、雖在x=x0有定義但lim(x→x0)f(x)不存在;3、雖在x=x0有定義且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)時則稱函數在x0處不連續或間斷。

如果x0是函數f(x)的間斷點，但左極限及右極限都存在，則稱x0為函數f(x)的第一類間斷點(左右極限相等者稱可去間斷點，不相等者稱為跳躍間斷點)。非第一類間斷點的任何間斷點都稱為第二類間斷點(無窮間斷點和震蕩間斷點)。

定理有限個在某點連續的函數的和、積、商(分母不為0)是個在該點連續的函數。

定理如果函數f(x)在區間Ix上單調增加或減少且連續，那么它的反函數x=f(y)在對應的區間Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上單調增加或減少且連續。反三角函數在他們的定義域內都是連續的。

定理(最大值最小值定理)在閉區間上連續的函數在該區間上一定有最大值和最小值。如果函數在開區間內連續或函數在閉區間上有間斷點，那么函數在該區間上就不一定有最大值和最小值。

定理(有界性定理)在閉區間上連續的函數一定在該區間上有界，即m≤f(x)≤M.定理(零點定理)設函數f(x)在閉區間上連續，且f(a)與f(b)異號(即f(a)×f(b)

推論在閉區間上連續的函數必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。

1、導數存在的充分必要條件函數f(x)在點x0處可導的充分必要條件是在點x0處的左極限lim(h→-0)/h及右極限lim(h→+0)/h都存在且相等，即左導數f-′(x0)右導數f+′(x0)存在相等。

2、函數f(x)在點x0處可導=>函數在該點處連續;函數f(x)在點x0處連續≠>在該點可導。即函數在某點連續是函數在該點可導的必要條件而不是充分條件。

3、原函數可導則反函數也可導，且反函數的導數是原函數導數的倒數。

4、函數f(x)在點x0處可微=>函數在該點處可導;函數f(x)在點x0處可微的充分必要條件是函數在該點處可導。

1、定理(羅爾定理)如果函數f(x)在閉區間上連續，在開區間(a，b)內可導，且在區間端點的函數值相等，即f(a)=f(b)，那么在開區間(a，b)內至少有一點ξ(a

2、定理(拉格朗日中值定理)如果函數f(x)在閉區間上連續，在開區間(a，b)內可導，那么在開區間(a，b)內至少有一點ξ(a

3、定理(柯西中值定理)如果函數f(x)及F(x)在閉區間上連續，在開區間(a，b)內可導，且F’(x)在(a，b)內的每一點處均不為零，那么在開區間(a，b)內至少有一點ξ，使的等式/=f’(ξ)/F’(ξ)成立。

4、洛必達法則應用條件只能用與未定型諸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞ 0等形式。

5、函數單調性的判定法設函數f(x)在閉區間上連續，在開區間(a，b)內可導，那么：(1)如果在(a，b)內f’(x)>0，那么函數f(x)在上單調增加;(2)如果在(a，b)內f’(x)

如果函數在定義區間上連續，除去有限個導數不存在的點外導數存在且連續，那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的點來劃分函數f(x)的定義區間，就能保證f’(x)在各個部分區間內保持固定符號，因而函數f(x)在每個部分區間上單調。

6、函數的極值如果函數f(x)在區間(a，b)內有定義，x0是(a，b)內的一個點，如果存在著點x0的一個去心鄰域，對于這去心鄰域內的任何點x，f(x)f(x0)均成立，就稱f(x0)是函數f(x)的一個極小值。

在函數取得極值處，曲線上的切線是水平的，但曲線上有水平曲線的地方，函數不一定取得極值，即可導函數的極值點必定是它的駐點(導數為0的點)，但函數的.駐點卻不一定是極值點。

定理(函數取得極值的必要條件)設函數f(x)在x0處可導，且在x0處取得極值，那么函數在x0的導數為零，即f’(x0)=0.定理(函數取得極值的第一種充分條件)設函數f(x)在x0一個鄰域內可導，且f’(x0)=0，那么：(1)如果當x取x0左側臨近的值時，f’(x)恒為正;當x去x0右側臨近的值時，f’(x)恒為負，那么函數f(x)在x0處取得極大值;(2)如果當x取x0左側臨近的值時，f’(x)恒為負;當x去x0右側臨近的值時，f’(x)恒為正，那么函數f(x)在x0處取得極小值;(3)如果當x取x0左右兩側臨近的值時，f’(x)恒為正或恒為負，那么函數f(x)在x0處沒有極值。

定理(函數取得極值的第二種充分條件)設函數f(x)在x0處具有二階導數且f’(x0)=0，f’’(x0)≠0那么：(1)當f’’(x0)0時，函數f(x)在x0處取得極小值;駐點有可能是極值點，不是駐點也有可能是極值點。

7、函數的凹凸性及其判定設f(x)在區間Ix上連續，如果對任意兩點x1，x2恒有f/2，那么稱f(x)在區間Ix上圖形是凸的。

定理設函數f(x)在閉區間上連續，在開區間(a，b)內具有一階和二階導數，那么(1)若在(a，b)內f’’(x)>0，則f(x)在閉區間上的圖形是凹的;(2)若在(a，b)內f’’(x)

判斷曲線拐點(凹凸分界點)的步驟(1)求出f’’(x);(2)令f’’(x)=0，解出這方程在區間(a，b)內的實根;(3)對于(2)中解出的每一個實根x0，檢查f’’(x)在x0左右兩側鄰近的符號，如果f’’(x)在x0左右兩側鄰近分別保持一定的符號，那么當兩側的符號相反時，點(x0，f(x0))是拐點，當兩側的符號相同時，點(x0，f(x0))不是拐點。

在做函數圖形的時候，如果函數有間斷點或導數不存在的點，這些點也要作為分點。

1、原函數存在定理定理如果函數f(x)在區間I上連續，那么在區間I上存在可導函數F(x)，使對任一x∈I都有F’(x)=f(x)

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摘要：數學建模是為改變傳統高職高等數學教學中存在的內容陳舊和理論脫離實際的缺陷而產生起來的課程，它著重于學生能力和素質的培養、知識的應用和創新。在高等數學教學中引進數學模型，滲透數學建模的思想與方法，不僅能大大激發學生學習數學的興趣，提高他們學習數學和應用數學的能力，而且能夠提升教師的教學水平，豐富現有的教學方法，拓寬課堂教學的內涵，有效提高高等數學的教學質量。

高等數學是高職理、工、經濟、管理等專業的一門必不可少的基礎課程，為其他專業課程的學習，以及將來的技術工作，奠定了必要的數學基礎。然而各類高職院校學生高等數學的學習情況卻不容樂觀，多數學生反映高等數學太難，數學課枯燥，成績不理想，有些學生甚至跟不上教學進度。要想改變這種狀況，高職院校必須對高等數學教學的傳統思想觀念和教學方法加以改革，教師不僅要教會學生一些數學概念和定理，更要教會他們如何運用手中的數學武器去解決實際問題。數學建模就是將現實世界中的實際問題加以提煉，抽象為數學模型，求出模型的解，驗證模型的合理性，并用該數學模型所提供的解答來解釋和指導現實問題。數學建模對于提高學生運用數學和計算機技術解決實際問題的能力，培養創新能力與實踐能力，培養團結合作精神，全面提高學生的素質具有非常積極的意義。

在高等數學教學中，幫助學生去發現問題、分析問題并想辦法利用所學數學知識解決問題非常重要。在傳統的高等數學教學中，學生基本處于被動接受狀態，很少參與教學過程。教師在教學過程中常常把教學的目標確定在使學生掌握數學理論知識的層面上。通常的教學方法是：教師引入相關概念，證明相應定理，推導常用公式，列舉典型例題，要求學生記住公式，學會套用公式，在做題中掌握解題方法與技巧。當然，在高等數學教學中這些必不可少，但這只是問題的一個方面。目前，高等數學的題目都有答案，而將來面對的問題大多預先不知道答案，這就要讓學生了解如何用數學去解決日常生活中或其他學科中出現的實際問題，提高用數學方法處理實際問題的`能力。

在高等數學課程教學中積極滲透、有機融合數學建模的思想方法，積極引導、幫助學生理解數學精神實質，掌握數學思想方法，增強運用數學的意識，提高數學能力，對培養學生的數學素養，全面提升教育教學質量有著積極的實際意義。

事實上，高等數學中很多概念的引入都采用了數學建模的思想與方法，比如，從研究變速直線運動的瞬時速度與曲線切線的斜率出發引入導數的概念，從研究曲邊梯形的面積出發引人定積分概念，從研究空間物體的質量出發引入三重積分概念等。教師在講課過程中要適時、適當、有意識地加以引導，考慮到學生實際的數學基礎，在授課前應有針對性地結合現行教材的各個章節，搜集相關內容的實例，盡可能將高等數學運用于實際生活。講授內容時適當介紹相關的一些簡單模型，不僅能豐富大學數學的課堂內容，而且能很好地活躍課堂氣氛，調動學生的學習積極性。以下就在高等數學實際教學中應用數學建模思想的實例加以說明。

微分方程數學模型是解決實際問題的有力工具，在了解并掌握了常見的常微分方程的建立與求解后引人人口模型：人口增長問題是當今世界最受關注的問題之一。著名的馬爾薩斯模型是可分離變量的微分方程，很容易求解，其解說明人口將以指數函數的速度增長。該模型檢驗過去效果較好，但預測將來問題很大，因為它包含明顯的不合理因素。這源于模型假設：人口增長率僅與人口出生率和死亡率有關且為常數。這一假設使模型得以簡化，但也隱含了人口的無限制增長。Logistic模型也是可分離變量的微分方程。該模型考慮了人口數量發展到一定水平后，會產生許多影響人口的新問題，如食物短缺、居住和交通擁擠等，此外，隨著人口密度的增加，傳染病增多，死亡率將上升，所有這些都會導致人口增長率的減少，根據統計規律，對馬爾薩斯模型作了改進。作為中長期預測，Logistic模型要比馬爾薩斯模型更為合理。 ? 另外，微分方程模型還有很多，例如與生活密切相關的交通問題模型、傳染病模型等。

閉區間上連續函數的性質理論性較強，嚴格的證明在一般的高等數學教材中均略去。零點定理是其中易于理解的一個，該定理有很好的幾何直觀。但其應用在教學中也僅限于研究方程的根的問題?！胺阶绬栴}”：四條腿長度相等的方桌放在不平的地面上，四條腿能否同時著地？這個問題是日常生活巾遇到的實際問題，在一定的假設條件下，該問題可抽象為數學問題。通過構造輔助函數，利用零點定理便可得問題答案是肯定的。教學中還可提出若桌子是長方形的，是否結論還成立？利用這個模型，學生們不僅了解了數學建模的過程，很好地掌握了閉區間上連續函數的性質，而且提高了學習高等數學的積極性。

此外，與生活實際相關的拉橡皮筋問題、巧切蛋糕問題、登山中的上山下山問題都可歸結為零點定理來建立數學模型。這些模型的建立，對于學生消化理解零點定理甚至介值定理都有很大的益處。

最值問題是實際生活中經常碰到的問題，用導數解決實際生活中的最值問題是高等數學的重要內容，學好導數，重視導數應用是學好高等數學基礎。在講完導數應用的理論內容后，引人“光學中的折射定理”：光在由一種介質進人另一種介質時，在界面處會發生折射現象。折射現象造成的結果是所謂的“最短時間”效應，即光線會走最短的路徑。經過一定的條件設定，這樣最短時間效應對應的優化問題為求傳播時間的最小值問題，經計算可得光學中著名的折射定理。該定理是學生在高中物理中學習過的重要定理，通過建立數學模型，并利用導數問題加以解決，加深了學生對折射定理的認識，并進一步理解導數應用問題。

另外，運輸問題、森林救火費用最小問題、最佳捕魚方案問題等都是生活中的實際問題，這些問題模型的建立、解決都能使學生對導數應用起到加深理解的作用。

現實世界中充滿了不確定性，我們所研究的對象往往受到諸多隨機因素的影響，因此所以建立的數學模型涉及的變量是隨機變量，甚至變量間的關系也非確定的函數關系，這類模型稱為隨機模型。幾何概率模型就是涉及“等可能性”的概率問題。著名的蒲豐問題便是幾何概率的一個早期例子：平面上畫著一些平行線，它們之間的距離均為定值，向此平面投一長度小于平行線間距離的針，試求此針與任一平行線相交的概率。值得注意的是，通過對此問題建立概率模型，可以看到它與某個我們感興趣的量――圓周率有關，然后設計適當的隨機試驗，并通過試驗的結果來確定這個量。

隨著計算機的發展，按照蒲豐問題的思路建立起一類新的方法，稱為蒙特卡羅方法，并取得廣泛應用。約會問題也是幾何概型問題，即：兩人相約7點到8點在某地會面，先到者等候另一人20分鐘，過時就可離去，試求兩人能會面的概率。

合理安排理論教學恰當引入數學建模的思想和方法，主動引導學生運用所學數學知識去分析和解決實際問題，就能充分調動學生學習高等數學的積極性，讓學生發揮學習的主觀能動性，感受學習高等數學的樂趣。

數學建模活動主要包含數學建模課程、數學建模培訓與競賽等。參加過數學建模活動的學生基本能通過采集、整理和分析數據與信息，找出量和量之間的關系，針對問題合理的假設將其轉化為一個數學問題，建立數學模型，利用計算機對所建模型求解，最后對結果進行分析處理，檢驗和評價，從而解決問題，最終完成一篇或報告。數學建模活動著重培養了學生下面幾項能力：應用數學方法和思想進行綜合分析推理的能力（創造力、想象力、聯想力和洞察力）、數學語言與生活語言的互譯能力、查閱文獻資料并消化和應用的能力、使用計算機及相應數學軟件的能力、的撰寫能力和表達能力、團隊合作的能力。

開展數學建?；顒邮菨B透數學建模思想的最重要的形式，它既可以體現課內課外知識的結合，又可以滿足普及建模知識與提高建模能力結合的原則，為培養學生綜合運用數學知識分析和解決實際問題的能力提供了實踐平臺，有效地提升了學生的數學綜合素質。

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數學建模是指利用數學符號對數學實踐問題以公式形式表述出來，再通過相關計算解決實際問題。數學建?？梢詾閷W生創設適宜的學習條件，讓學生在假設、研究、分析、比對中形成學習結論。教師要借助教學內容展開滲透操作，利用實際問題為學生創設實踐機會，根據教法改進滲透建模思想，從而促進建模思想的全面滲透，提升學生的數學核心素養。

在數學教學過程中，教師要對教材內容進行篩選和剖析，找到文本思維和生本思維的對接點，讓學生順利介入數理討論學習之中。教師利用教學內容對學生滲透數學建模思想，利用教輔手段創設教學環境，可以有效喚醒學生的數學思維。利用多媒體創設教學情境，運用數學公式進行數學推演操作，都涉及數學建模思想的滲透。因此，教師要積極整合教學內容。借助教學內容滲透建模思想時，教師要結合多種教學調查情況展開相關操作。篩選教學內容時，教師需要觀照不同群體學生的不同學力基礎。如解讀定積分概念時，教師可以通過推導曲邊梯形的面積公式，鼓勵學生對曲邊梯形進行分割、歸類、求和、取極限等實際操作，建立定積分數學模型，并讓學生在實際操作中完成對物體體積和質量的具體計算。這些數學模型具有廣泛性，學生在實踐中再遇到類似情境時，也會運用相關模型進行實際操作。推演數學公式時，教師可引入建模思想，讓學生參與問題的設計、推演、驗證，并利用推演結果反過來解決實際問題，給學生帶去全新的學習體驗。教師根據教學內容滲透數學建模思想，能夠為學生提供更清晰的學習渠道，能夠促使學生運用現成的數學模型來解決數學問題，進而加深對知識的理解。

教師在數學建模教學實施過程中，需要有接軌生活的意識。數學來源于生活，教師結合生活實際問題滲透建模思想，可以有效提升學生的數學概念意識，并使學生在假設、推理、驗證過程中形成數學能力。利用生活實際問題滲透數學建模思想，符合學生數學認知成長的`實際需要，教師要結合學生的數學知識掌握情況展開設計，讓學生利用已知數學等量關系解決實際問題，這勢必能促使學生形成數理認知基礎。高職數學教學中，教師不妨鼓勵學生展開質疑活動，讓學生列舉疑惑問題，對這些問題進行整合優化處理，并結合數理知識進行實踐探索。這些也屬于數學建模思想的滲透。如教學“假設檢驗”時，教師可讓學生展開假設創設，并通過多重操作實踐進行檢驗。另外，教師設計課外作業時，也可滲透數學建模思想，讓學生運用建模思想解決實際問題，以提升學生的數學綜合素質。數學建模思想不僅是一種數學認知理論，還是一種解決數學問題的方法和措施。學生結合生活實際和學習認知基礎展開相關操作，自然能夠促進數學基本技能的提升。高職數學具有較強的抽象性，教師要針對學生的學力基礎，為學生布設適宜的學習任務。結合學生生活實際提出問題，利用建模思想解決問題，需要關涉很多專業理論，教師應該進行示范操作，讓學生有學習的榜樣，這樣才能提升數學課堂教學效度。

教師要重視數學學法的傳授，增加教學的靈活性、針對性和實踐性。由于高職學生學力基礎、學習悟性、學習習慣等存在差距，所以教師需要做好學情調查，降低數學學習難度，運用簡單通俗的語言解讀抽象的數學概念。這樣，學生才能聽得明白、學得好。滲透建模思想時，教師需要鼓勵學生主動參與數理討論互動，這不僅能引導學生展開質疑、釋疑活動，還有利于學生樹立數學建模理念，形成良性學習認知。教師打破傳統教法束縛，采用先進的計算工具、數學軟件、多媒體等教學輔助手段，或者利用網絡搜集平臺展開教學設計，都可以為學生提供難得的學習契機。高職學生通常擁有一定的信息技術應用能力，教師可借助信息媒體展開教學設計，與學生的生活認知接軌。如翻轉課堂的適時介入，便屬于數學建模典范設計。多數學生都有智能手機，可以隨時隨地參與網絡信息共享活動，因此，教師應具備信息共享和網絡互動意識，為學生布設相關學習任務，讓學生在多元互動操作中逐漸達成學習共識，進而建立數理綜合認知體系。將數學建模思想滲透到教學過程之中，每一個環節都有可能，教師要做好全面考量，針對學生實際進行科學設計。教師要加強對數學建模思想方法的研究，并將這些方法與學生學習實踐相結合，從而調動學生的數理學習思維，提升學生的數學應用品質?？傊?，高職數學教學中滲透建模思想時，教師需要具備整合意識，對建模資源信息展開搜集整理，對學生學力基礎進行全面判斷，為建模思想的順利滲透創造良好條件。數學教學設計應不斷更新，教師教學水平也亟待提升，而建模思想的全面滲透，給教師的教學帶來了全新契機。教師要根據教學實際展開創新設計，有效提升數學課堂教學效率。

參考文獻：

[1]李建杰.數學建模思想與高職數學教學[J].河北師范大學學報,(06).

[2]劉學才.高職數學建模教學的現狀及對策[J].湖北職業技術學院學報,(07).

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文化視角的數學觀就是視數學為一種文化并且在數學與其他人類文化的交互作用中探討數學的文化本質。在數學文化的觀念下，數學思維不單單是弄懂數量關系、空間形式，而且是一種對待現實事物的獨特的態度，是一種研究事物和現象的方法;在數學文化的觀念下，那種把數學知識與數學創造的情境相分離的傳統課程教學方式將會被摒棄;在數學文化的觀念下，數學教學不再把數學當作是孤立的、個別的、純知識形式，而是將其融入到整個文化體系結構當中?？傊瑪祵W作為一種文化，可使數學教育成為造就培養下一代，塑造新人的有力工具。目前，數學作為一種文化現象已經得到廣泛認同，但是，迄今為止，“數學文化”還沒有一個公認的貼切定義，很多專家學者都從自己的認識角度論述數學文化的涵義。從課程論的角度來理解數學文化，數學文化是指人類在數學行為活動的過程中所創造的物質產品和精神產品。物質產品是指數學命題、數學方法、數學問題和數學語言等知識性成分;而精神產品是指數學思想、數學意識、數學精神和數學美等觀念性成分。數學文化對人們的行為、觀念、態度和精神等有著深刻影響，它對于提高人的文化修養和個性品質起著重要作用。[1]

在數學文化的觀念下，數學教育就是一種數學文化的教育，它不僅僅強調數學文化中知識性成分的學習，而且更注重其觀念性成分的感悟和熏陶。數學文化觀下的數學教育肩負著學生全面發展的重任，它通過數學文化的傳承，特別是數學精神的培育，來塑造學生的心靈，從而最終達到提高學生數學素養的目的。但長期以來，人們總是把數學視為工具性學科，數學教育只重視數學的工具性價值，而忽略了數學的文化教育價值。到目前為止，高等數學教學仍采用以知識技能傳授為主的單一教學模式，即把數學教育看作科學教育，主要強調數學基本知識的學習和基本計算能力的培養，缺少對數學文化內涵的揭示，缺少對學生數學精神、數學意識的培養。數學文化觀下的教學模式是一種主要基于數學文化教育理論，以數學意識、數學思想、數學精神和數學品質為培養目標的教學模式。構建數學文化觀下的教學模式，就是為了使教師教學有章可循，更好地推廣數學文化教育。[2]

我國是有著兩千多年文明歷史的國家，在不同的歷史時期，教學形式各有不同。新中國成立以來，高等數學教育教學模式經歷了多次改革的浪潮。新中國成立初期，受前蘇聯教育家凱洛夫教育理論的影響，數學課堂教學廣泛采用的是“組織教學、復習舊課、講授新課、小結、布置作業”五環節的傳統教學模式，很多教學模式都是在它的基礎上建立起來的。上世紀80年代，開始了新一輪高等數學教學方法的改革，這一時期教學模式的改革主要以重視基本知識的學習和基本能力的培養為主流，并帶動了其他有關教學模式的研究與改革。近年來，隨著現代技術的進步和高等數學教學改革的不斷深入，對高等數學教學模式研究和改革呈現出生機勃勃的景象。從問題的解決到開放性教學;從創新教育到研究性學習;從高等數學思想和方法的教學到審美教學等，高等數學教學思想、方法和教學模式呈現出多元化的發展態勢。現在比較提倡的教學模式有：數學歸納探究式教學模式;“自學—輔導”教學模式;“引導—發現”教學模式;“情境—問題”教學模式;“活動—參與”教學模式;“探究式教學模式”等。研究這些教學模式，能夠學習和借鑒它們的研究思想和方法，為本文基于數學文化觀的高等數學教學模式的建構提供方法論支持。

(1)“自學—輔導”教學模式，是指學生在教師指導下自主學習的教學模式。這一模式的特點不僅體現在自學上，而且體現在輔導上，學生自學不是要取消教師的主導作用，而是需要教師根據學生的文化基礎和學習能力，有針對性的啟發、指導每個學生完成學習任務。“自學—輔導”教學模式能夠使不同認知水平的學生得到不同的發展，充分發揮學生各自的潛能。[3]當然，這一教學模式也有其局限性，首先，學生應當具備一定的自學能力，并有良好的自學習慣;其次，受教學內容的限制;此外，還要求教師有較強的加工、處理教材的能力。

(2)“引導—發現”教學模式，主要是依靠學生自己去發現問題、解決問題，而不是依靠教師講解的教學模式。這一教學模式下的教學特點是，學習成為學生在教學過程中的主動構建活動而不是被動接受;教師是學生在學習過程中的促進者而不是知識的授予者。這一教學模式要求學生具有良好的認知結構;要求教師要全面掌握學生的思維和認知水平;要求教材必須是結構性的，符合探究、發現的思維活動方式。[3]運用這一教學模式就能使學生主動參與到高等數學的教學活動中，使教師的主導作用和學生的積極性與主動性都得到充分的發揮。

(3)“情境—問題”教學模式，該模式經過多年的研究，形成了設置數學情境;提出數學問題;解決數學問題;注重數學應用的較穩定的四個環節的教學模式，模式的四個環節中，設置數學情境是前提;提出數學問題是重點;解決數學問題是核心;應用數學知識是目的。[4]運用這一模式進行數學教學，要求教師要采取啟發式為核心的靈活多樣的教學方法;學生應采取以探究式為中心的自主合作的學習方法，其宗旨是培養學生創新意識與實踐能力。

(4)“活動—參與”教學模式，也稱為數學實驗教學模式，就是從問題出發，在教師的指導下，進行探索性實驗，發現規律、提出猜想，進而進行論證的教學模式。事實上，數學實驗早已存在，只是過去主要局限于測量、制作模型、實物或教具的演示等，較少用于探究、發現問題、解決問題等。而現代數學實驗是以數學軟件的應用為平臺，結合數學模型進行教學的新型教學模式。該模式更能充分地發揮學生的主體作用，有利于培養學生的創新精神。[4]

(5)“探究式教學模式”，探究式教學模式可歸納為“問題引入—問題探究—問題解決—知識建構”四個環節。探究式教學模式是把教學活動中教師傳遞學生接受的過程變成以問題解決為中心、探究為基礎、學生為主體的師生互動探索的學習過程。目的在于使學生成為數學的探究者，使數學思想、數學方法、數學思維在解決問題的過程中得到體現和彰顯。[5]

回顧我國高等數學傳統教學模式可以發現，其主要的教學目標是知識與技能的培養，重視高等數學知識的傳授多，與實際聯系的少;關注學生數學知識點的學習，忽視數學素質的培養;強調了老師的主導作用，學生參與的少，使學生完全處于被動狀態，不利于激發學生的學習興趣。這不符合數學教育的本質，更不利于培養學生的創新意識和文化品質。

我們不能否認，傳統的高等數學教學模式有利于學生基礎知識的傳授和基本技能的培養，在這種課堂教學環境下，由于太過重視高等數學知識的傳授，師生的情感交流就很缺乏，不僅學生的情感長期得不到關照，而且學生發展起來的知識常是惰性的，因而體會不到知識對經驗的支撐。這就可能滋生對高等數學學習的厭惡情緒，導致學生對數學科學日益疏離，也造就了一些學生缺乏人文素養、創新素質的理性人格。[5]在這種數學課堂教學中，教師始終占據主導地位，盡管也在強調教學的啟發性以及學生的參與，但由于注重外在教學目標以及教學過程的預設性，很少給教學目的的生成性留有空間。課堂始終按照教師的思路在進行，這種控制性數學教學是去學生在場化的教學行為，在這樣課堂上，人與人之間完整的人格相遇永遠退居知識的傳遞與接受之后。這無疑在一定程度上造成數學課堂教學中人文關懷的失落。

高等數學文化知識不僅使學生了解數學的發展和應用，而且是學生理解數學的一個有效途徑，從而提升學生的數學素質。數學素質是指學生學習了高等數學后所掌握的數學思想方法，形成的邏輯推理的思維習慣，養成的認真嚴謹的學習態度及運用數學來解決實際問題的能力等。[6]傳統的高等數學教育過于注重傳授知識的系統性和抽象性，強調單純的方法和能力訓練，忽略了數學的文化價值教育，對于數學發現過程以及背后蘊藏的文化內涵揭示不夠;忽視了給數學教學創造合理的有豐富文化內涵的情境，缺少對學生數學文化修養的培養，致使學生數學文化素質薄弱。

數學是推動人類進步最重要的學科之一，是人類智慧的集中表達。學習數學的基本知識、基本技能、基本思想自然是數學教育目的的必要組成部分。數學的發展不同程度地植根于實際的需要，且廣泛應用于其他很多領域，所以，數學的應用價值也是教育目的的一個重要部分。數學教育的目的，還有鍛煉和提高學生的抽象思維能力和邏輯思維能力，使學生思維清晰、表達有條理。實現科學價值是數學教育一直不變的目標，但并不是唯一目標。數學的人文價值也是數學教育不可忽視的重要內容。在數學教育中，我們不僅要關心學生智力的發展，鼓勵學生學會運用科學方法解決問題，而且也要關注培養有情感、有思想的人。同時，作為文化的數學，能夠提升人的精神。[7]通過學習數學文化，能夠培養學生正確的世界觀和價值觀，發展求知、求實、勇于探索的情感和態度。因此，筆者認為基于數學文化觀的高等數學教育，就是要將其科學價值與人文價值進行整合。在數學文化教育的理論指導下，“基于數學文化觀的高等數學教學模式”的教學目標為：以學生為基點，以數學知識為基礎，以育人為宗旨，在傳授知識，培育和發展智力能力的基礎上，使學生體驗數學作為文化的本質，樹立數學作為一種既普遍又獨特的與人類其他文化形式同等價值地位的文化形象，最終使學生達到對數學學習的文化陶醉與心靈提升，最終實現數學素質的養成。

分析上述高等數學教學模式發現，雖然現代教學模式已經打破了傳統教學模式框架，但學生的情感態度、數學素質的培養不是其主要教學目標。學習和研究現代教學模式的研究思想和方法，使筆者認識到構建數學文化觀下的高等數學教學模式，并不意味著對傳統的教學模式的徹底否定，而是對傳統的教學模式改造和發展。這是因為數學知識是數學文化的載體，數學知識和數學文化兩者的教育沒有也不應該有明確的分界線，因此數學知識的學習和探究是數學教學活動的重要環節。立足于對數學文化內涵的理解，圍繞基于數學文化觀的高等數學教學目的，通過對高等數學教學模式的的反思和借鑒，本人逐步從多年的教學實踐中歸納形成了“經驗觸動———師生交流———知識探究———多領域滲透———總結反思”的教學模式。[8]這一教學模式就是在教與學的活動過程中充分滲透數學文化教學，教師活動突出表現為呈現———滲透———引導———評述;學生活動突出表現為體驗———感悟———交流———探索。

(1)經驗觸動。學生的經驗不僅是指日常的生活經驗，還包括數學經驗。數學經驗是學習數學知識的經歷、體驗。要觸動學生的日常生活經驗和數學經驗，教學中就要注重運用植根于文化境脈的數學內容設置教學情境，使學生從數學情境中獲取知識、感受文化，促進數學理解，激發學生的學習興趣和探究欲望。

(2)師生交流是指師生共同對數學文化進行探討。數學文化教育的廣泛性、自主探索與合作交流學習方式都要求師生之間保持良好的溝通。嚴格來說，“師生交流”不僅指教師和學生的交流，也包括學生和學生的交流。師生交流是模式實施的重點，當然，師生交流不會停留在這個環節，它會充斥于之后的整個課堂教學中。

(3)知識探究是數學文化教學的必要環節。數學知識是數學文化的載體，兩者是相互促進、相互影響的。在感受數學文化的同時，對相關數學知識進行提煉、學習，就是從另一個角度學習和體悟數學文化，是對數學文化教育的一種促進。

(4)多領域滲透是指教師跨越當前的數學知識和內容，不僅建立和其他數學知識的內部聯系，而且能夠拓展教學內容，將之滲透到其他學科的各個領域，使學生感受數學與數學系統之外領域的緊密聯系，從而使學生深刻地感悟到數學作為人類文化的本質。

(5)總結反思就是對整堂課做回顧總結，加深學生對所學數學知識的理解，加深對所體會的數學文化的印象，也為下次的數學學習積累經驗，開創創新源泉。本教學模式是一種主要基于數學文化教育理論，以數學意識、數學思想、數學精神、數學品質為教學目標的教學模式。數學文化氛圍濃厚的課堂、數學素養豐富的教師、學生學習方式的轉變都是模式實施的必要條件。

在進行高等數學的教學設計和教學過程中，具有教學模式意識是對現代教師應有的基本要求，而對教學模式的選擇，不是滿足個人喜好的隨意行為，而是根據教學對象和教學內容合理選擇的結果。而根據教學對象和教學內容選擇適當的教學模式，也不是生搬硬套，將某種教學模式簡單地移植到教學中，將教學模式“模式化”，使教學模式變成僵死的條條框框，對教學模式的改造、創新和超越，才是創新教育的本質。[9]高等數學的課堂教學是一個開放的教學系統，課堂活動中學生的任何微小變化或不確定的偶然事件的發生，都可能導致課堂教學系統的巨大變化，這就需要教師實時、恰當的對教學方案做出調整。教學過程中的這種不確定性表明，教師需要運用教學模式組織教學，但更要超越教學模式。在教學過程中能靈活運用教學模式、并超越教學模式便是成熟、優秀的數學教師的重要標志。因此，成功的選擇、組合、靈活運用教學模式，不受固定教學模式的制約，超越教學模式，走向自由教學，最終實現“無模式化”教學，就是優秀的高等數學教師追求的最高境界。

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一、基礎階段

考研數學考察的是對基礎知識的綜合運用，所以基礎知識尤為重要，很多同學在復習時存在一個誤區，認為我把難題做好就行了，難題都會做了，簡單的題目就更沒有問題了，其實這是錯誤的，如果基礎知識沒有掌握牢固，在復習過程中會發現越復習越困難，到復習的后期會發現連簡單的問題都不知道如何下手了。這就是基礎知識沒有掌握牢固的結果。

在這個階段，也就是從現在開始至六月份，是基礎階段的復習時間，這個階段以課本和習題為主，這個階段做題是為了鞏固基礎知識，不要為了做題而做題。我們考研數學的復習分為幾個階段，首先是打基礎，之后是綜合運用基礎知識解題，最后就是提高熟練度?？上攵?，如果大家基礎知識沒有掌握牢固，那如何綜合運用呢?

在這一階段，考生們不要和其他同學比進度，也不要單純的追求量，完完整整的看一遍，達到看過的知識都能夠熟練掌握的程度，會比我們囫圇吞棗的看三四遍都有用，所以這個階段不要比進度，爭取把每一個知識點都掌握牢固，知道每個定理公式或方法的基本內容、適用條件、易錯點等。

二、強化階段

七月至九月份是強化階段，強化階段是對基礎知識的綜合運用。這個階段考生們要提高綜合解題能力，形成完整的知識體系。考生們這段時間主要是做題，熟練的掌握每個模塊要考的.題型類型以及每種題型的解題方法。這個階段考生易犯的錯誤是眼高手低，覺得自己解題方法掌握了就可以了，對于計算題就放過了，這是不可以的，考研數學要求考生在規定的時間內完成規定的計算量。所以如果計算題都放過那么就更加無法提高計算能力。

三、提高階段

考生掌握了基本的基礎知識和針對每個題型的解題方法，這個階段就需要做分類的真題。分類解析是讓大家短時間內獲得每個模塊考點、考試題型的一種快捷方式，通過做真題了解自己對每一模塊和每一題型的掌握情況，對不是很清楚的部分再繼續做這一部分的習題，達到每個模塊都掌握牢固，每種題型都有解決的思路。

四、沖刺階段

最后這個階段就是做模擬題，模擬考試環境、考試時間和心態，這一階段考生在做題的時候注意時間，嚴格按照考研的考試時間來做真題。這個階段考生易犯的錯誤特別是到了十二月份，把主要精力都放在了政治和英語上，基本上會一直不看數學，認為數學也就達到上限了，再做題也不會提高很高的分數。誠然這一階段背政治或者英語能提的分數比較高，但是，長時間不做數學題考生就會發現再做題的時候手生，很多知識點和題型都忘記了，這樣我們辛辛苦苦所掌握的知識又還回去了，豈不很可惜。所以考生們一定要堅持做題，穩中求勝。

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一、一元函數積分學

(一)不定積分

1.知識范圍

(1)不定積分

原函數與不定積分的定義原函數存在定理不定積分的性質

(2)基本積分公式

(3)換元積分法

第一換元法(湊微分法)第二換元法

(4)分部積分法

(5)一些簡單有理函數的積分

2.要求

(1)理解原函數與不定積分的概念及其關系，掌握不定積分的性質，了解原函數存在定理。

(2)熟練掌握不定積分的基本公式。

(3)熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法(限于三角代換與簡單的根式代換)。

(4)熟練掌握不定積分的分部積分法。

(5)會求簡單有理函數的不定積分。

(二)定積分

1.知識范圍

(1)定積分的概念

定積分的定義及其幾何意義可積條件

(2)定積分的性質

(3)定積分的計算

變上限積分牛頓—萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式換元積分法分部積分法

(4)無窮區間的廣義積分

(5)定積分的應用

平面圖形的面積旋轉體體積物體沿直線運動時變力所作的功

2.要求

(1)理解定積分的概念及其幾何意義，了解函數可積的條件。

(2)掌握定積分的基本性質。

(3)理解變上限積分是變上限的函數，掌握對變上限定積分求導數的方法。

(4)熟練掌握牛頓—萊布尼茨公式。

(5)掌握定積分的換元積分法與分部積分法。

(6)理解無窮區間的廣義積分的概念，掌握其計算方法。

(7)掌握直角坐標系下用定積分計算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標軸旋轉所生成的旋轉體體積。

會用定積分求沿直線運動時變力所作的功。

二、向量代數與空間解析幾何

(一)向量代數

1.知識范圍

(1)向量的概念

向量的定義向量的模單位向量向量在坐標軸上的投影向量的坐標表示法向量的方向余弦

(2)向量的線性運算

向量的加法向量的減法向量的數乘

(3)向量的數量積

二向量的夾角二向量垂直的充分必要條件

(4)二向量的向量積二向量平行的充分必要條件

2.要求

(1)理解向量的概念，掌握向量的坐標表示法，會求單位向量、方向余弦、向量在坐標軸上的投影。

(2)熟練掌握向量的線性運算、向量的數量積與向量積的計算方法。

(3)熟練掌握二向量平行、垂直的充分必要條件。

(二)平面與直線

1.知識范圍

(1)常見的平面方程

點法式方程一般式方程

(2)兩平面的位置關系(平行、垂直和斜交)

(3)點到平面的距離

(4)空間直線方程

標準式方程(又稱對稱式方程或點向式方程)一般式方程參數式方程

(5)兩直線的位置關系(平行、垂直)

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(6)直線與平面的位置關系(平行、垂直和直線在平面上)

2.要求

(1)會求平面的點法式方程、一般式方程。會判定兩平面的垂直、平行。會求兩平面間的夾角。

(2)會求點到平面的距離。

(3)了解直線的一般式方程，會求直線的標準式方程、參數式方程。會判定兩直線平行、垂直。

(4)會判定直線與平面間的關系(垂直、平行、直線在平面上)。

(三)簡單的二次曲面

1.知識范圍

球面母線平行于坐標軸的柱面旋轉拋物面圓錐面橢球面

2.要求

了解球面、母線平行于坐標軸的柱面、旋轉拋物面、圓錐面和橢球面的方程及其圖形。

三、多元函數微積分學

(一)多元函數微分學

1.知識范圍

(1)多元函數

多元函數的定義二元函數的幾何意義二元函數極限與連續的概念

(2)偏導數與全微分

偏導數全微分二階偏導數

(3)復合函數的偏導數

(4)隱函數的偏導數

(5)二元函數的無條件極值與條件極值

2.要求

(1)了解多元函數的概念、二元函數的幾何意義。會求二次函數的表達式及定義域。了解二元函數的極限與連續概念(對計算不作要求)。

(2)理解偏導數概念，了解偏導數的幾何意義，了解全微分概念，了解全微分存在的必要條件與充分條件。

(3)掌握二元函數的一、二階偏導數計算方法。

(4)掌握復合函數一階偏導數的求法。

(5)會求二元函數的全微分。

(6)掌握由方程所確定的隱函數的一階偏導數的計算方法。

(7)會求二元函數的無條件極值。會用拉格朗日乘數法求二元函數的條件極值。

(二)二重積分

1.知識范圍

(1)二重積分的概念

二重積分的定義二重積分的幾何意義

(2)二重積分的性質

(3)二重積分的計算

(4)二重積分的應用

2.要求

(1)理解二重積分的概念及其性質。

(2)掌握二重積分在直角坐標系及極坐標系下的計算方法。

(3)會用二重積分解決簡單的應用問題(限于空間封閉曲面所圍成的有界區域的體積、平面薄板質量)。

四、無窮級數

(一)數項級數

1.知識范圍

(1)數項級數

數項級數的概念級數的收斂與發散級數的基本性質級數收斂的必要條件

(2)正項級數收斂性的判別法

比較判別法比值判別法

(3)任意項級數交錯級數絕對收斂條件收斂萊布尼茨判別法

2.要求

(1)理解級數收斂、發散的概念。掌握級數收斂的必要條件，了解級數的基本性質。

(2)掌握正項級數的比值判別法。會用正項級數的比較判別法。

(3)掌握幾何級數、調和級數與級數的收斂性。

(4)了解級數絕對收斂與條件收斂的概念，會使用萊布尼茨判別法。

(二)冪級數

1.知識范圍

(1)冪級數的概念

收斂半徑收斂區間

(2)冪級數的基本性質

(3)將簡單的初等函數展開為冪級數

2.要求

(1)了解冪級數的概念。

(2)了解冪級數在其收斂區間內的基本性質(和、差、逐項求導與逐項積分)。

(3)掌握求冪級數的收斂半徑、收斂區間(不要求討論端點)的方法。

(4)會運用麥克勞林(Maclaurin)公式，將一些簡單的初等函數展開為冪級數。

五、常微分方程

(一)一階微分方程

1.知識范圍

(1)微分方程的概念

微分方程的定義階解通解初始條件特解

(2)可分離變量的方程

(3)一階線性方程

2.要求

(1)理解微分方程的定義，理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解。

(2)掌握可分離變量方程的解法。

(3)掌握一階線性方程的解法。

(二)可降價方程

1.知識范圍

(1)型方程

(2)型方程

2.要求

(1)會用降階法解型方程。

(2)會用降階法解型方程。

(三)二階線性微分方程

1.知識范圍

(1)二階線性微分方程解的結構

(2)二階常系數齊次線性微分方程

(3)二階常系數非齊次線性微分方程

2.要求

(1)了解二階線性微分方程解的結構。

(2)掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法。

(3)掌握二階常系數非齊次線性微分方程的解法。

考試形式及試卷結構

試卷總分：150分

考試時間：150分鐘

考試方式：閉卷，筆試

試卷內容比例：

函數、極限和連續約15%

一元函數微分學約25%

一元函數積分學約20%

多元函數微積分(含向量代數與空間解析幾何)約20%

無窮級數約10%

常微分方程約10%

試卷題型比例：

選擇題約15%

填空題約25%

解答題約60%

試題難易比例：

容易題約30%

中等難度題約50%

較難題約20%

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高等數學教學的幾點思考

重慶理工大學數學與統計學院高等數學教研室 陳 忠 金世剛 田 堅

【摘 要】在高等數學教學中，數學問題情境要根據具體的教學內容和學生的身心發展需要來設置，教師在以原有的知識為基礎之上，以新知識為目標，充分利用數學問題情境活躍課堂氣氛，激發學生的學習興趣，調動學生的學習主動性和創造性，進而促進學生智力和非智力因素的發展。本文探討了數學的美學意義，在教學中如何創設合適的數學問題情境，培養學生提出問的能力。

【關鍵詞】高等數學；問題情境；教學思考

筆者從事數學教學工作已20余載，在教學過程中，深刻體會到學生和教學目標的差距。細思之下，總覺得應該把它們說出來，以達到能讓學生更好掌握，讓同行能間相互借鑒，對教學能有效促進的目的。

一、數學的美學意義是教學中必不可少的優質內容

數學之美古已有之。早在古希臘時代，畢達哥拉斯學派已經論及數學與美學的關系，畢達哥拉斯本人既是哲學家、數學家，又是音樂理論的始祖，他第一次提出“美是和諧與比例”的觀點。我國當代著名數學家徐利治指出：“數學美的含義十分豐富，如數學概念的簡單性、統性、結構系統的協調性、對稱性，數學命題與數學模型的概括性、典型性與普適性，還有數學中的奇異性等等都是數學美的具體內容”。在教學中，通過創設情境，將抽象的概念具體化、形象化，這樣易于學生理解。

讓學生感受數學是思維的體操。數學思想是我們認識世界的基礎和有效工具。例如，在講數列極限與函數極限的分析定義是用“ε-N”、“ε-δ”語言給出的，定義中具有任意性與確定性，ε的任意性通過無限多個相對確定性來實現，ε的確定性決定了N 和ε的存在性。這種定義精細地刻劃了極限過程中變量之間的動態關系，表達了極限概念的本質，并且為極限運算奠定了基礎，學過微積分的人無不贊賞它的完美，評價它是最嚴密、最精煉、最優美的語言。這些，可以在課堂上很激情地講出來，直接撞擊學生的內心，堅定學生對數學的認識，摒棄對數學的誤解。又比如，數學中許多理論與人們的直覺相背離，有時讓人覺得不可思議，給人以無盡的遐想，有時又帶給人一種“山窮水復疑無路，柳岸花明又一春”的絕妙境界，它印證了我國數學家徐利治所說的：“奇異是一種美，奇異到了極限更是一種絕佳的美”。例如，有無限個連續點（無理點）和無限個間斷點（有理點）的黎曼函數f（x）=x（為既約真分數）0x=0，1及（0，1）內的無理數；在任一點都不連續狄利克雷函數f（x）=0，x∈Q，x=1，x∈Q；處處連續但處處不可微的魏爾斯特拉斯函數f（x）=bcos（απx）（其中α為奇數，0＜b＜1，ab＞1+π），這些函數我們都無法準確地描繪出它的圖像。但是黎曼函數、狄利克雷函數和魏爾斯特拉斯函數的美就恰似一幅幅神奇的抽象畫，雖奇異古怪，卻是數學家們依靠想象而產生的藝術精品。這些內容對于大一新生來說，無疑是很新鮮很有吸引力的，能起到激發強烈的求知欲的效果的。

二、創設合適的.數學問題情境，培養學生提出問題的能力

在高等數學教學活動中，只有使學生意識到問題的存在，才能激發他們學習中思維的火花。學生的問題意識越強烈，他們的思維就越活躍、越深刻、越富有創造性。而能讓學生提出問題，則需要一定的情景創設。比如，在講授過程中，舉例時可以賣點關子，甚至故意做錯，將問題擺在學生面前，促使學生思考。這樣，往往有事半功倍的效果。比如，講中值定理中證明柯西中值定理時，故意用拉格朗日中值定理的結論作比來證明。然后，指出其錯誤，再進行證明，使學生既加深了對輔助函數引入的重要，又對定理本身有著深刻的理解和記憶。在高等數學的教學中，我們知道很多同學反映數學單調、枯燥、不好學。實際上，情境創設能吸引學生積極參與和主動學習，讓他們從數學中找到無窮的樂趣。所以，教師只要能為學生創設一個良好的數學問題情境，激發起學生對數學問題探究的熱情，調動起參與學習的興趣，我們的教學也能更顯輕松，學生也會變被動為主動。

在高等數學教學過程中，教師要善于創設具有啟發誘導性的數學問題情境，激發學生的學習興趣和好奇心，使學生在教師所創設的數學問題情境中自主的學習，積極主動的探索數學知識的形成過程，進而把書本知識轉化為自己的知識，真正做到寓學于樂。設懸念不失為一種有效辦法。懸念作為一種學習心理機制，是由學生對所接觸的對象感到疑惑不解，而又想急于解決它從而產生的一種積極心理狀態。它對大腦皮質有強烈而持續的刺激作用，使你一時對問題既猜不透、想不通，又甩不開、放不下。因此，懸念的設置，能激發學生的學習動機和興趣，使思維活躍，豐富想象，追溯記憶，有利于培養學生克服困難的毅力。教師在課堂教學中，善于捕捉時機，恰當利用問題，創設懸念，可以觸動學生探索新知識的心理，提高課堂教學效率。例如，在學習變上限函數的定積分時，可以提出這樣的問題讓同學思考：①中自變量是什么？②對其導數如何求？對于前一個問題比較好回答，后一個題在講授中，我們可以先回憶一元復合函數的求導。同學們自然得出了結論。從而，我們可以看出在課堂教學中設置學生已經了解的原理作為提問的情境，可以啟發大多數學生進行積極思維，調動同學們學習的積極性。創設類比情境，數學概念在很大程度上可以說都是通過類比來引出的。所以，類比推理是非常重要的。即根據兩個研究對象具有某些相同或相似的屬性，推出當一個對象尚有另外一種屬性時，另一個對象也可能具有這一屬性或類似的思想方法，也就是從對某事物的認識推到對相類似事物的認識。高等數學中有許多概念具有相似的屬性，對于這些概念的教學，教師可以先讓學生研究已學過的概念的屬性，然后創設類比發現的情境，引導學生去發現，嘗試給新概念下定義。這時，教師可以舉身邊常見的例子加以講解。比如，我們知道冬天氣溫常常零攝氏度以下，到了春天氣溫漸漸升到零攝氏度以上，那么氣溫由零攝氏度下升到零攝氏度上，中間肯定要經過一點零攝氏度，這個零攝氏度就是我們所說的零點。再輔以教材習題中第4題，結合實際問題，更顯零點定理的功能強大。這樣，學生的感受肯定是很深的。實際上，還可以在授課過程中通過變式達到目的。所謂變式情境就是利用變換命題，變換圖形等方式激起學生學習的興趣和欲望，以觸動學生探索新知識的心理，提高課堂教學效率。如在講授中值定理時，在學習完羅爾定理后，教師可以進一步指出羅爾定理的三個條件是比較苛刻的，它使羅爾定理的應用受到了限制，如果取消“區間端點函數值相等”這個條件，那么在曲線上是否依然存在一點，使得經過這點曲線的切線仍然平行與兩個端點的連線。變化一下圖形，可以很容易得到結論，那么這個結論就是拉格朗日中值定理。這樣經過問題的變換一步步地引出要講授的內容，學生就可以很容易地接受新知識。當然，創設教學情境的方法不是孤立的，而是相互交融的。教師應根據具體情況和條件，緊緊圍繞住教學中心創設適合于學生思想實際內容健康有益的問題，而又富有感染力的教學情境。同時，要使學生在心靈與情境交融之中愉快地探索，深刻地理解，牢固地掌握所學的數學知識。當然，在高等數學教學中創設情境的方法還有很多，但無論設計什么樣的情境，都應從學生的生活經驗和已有的知識背景出發，以激發學生好奇心，引起學生學習興趣為目標，要自然、合情合理。這樣，才能使學生學習數學的興趣和自信心大增，學生的數學思維能力和分析問題、解決問題的能力得到提高。

總之，高等數學中包含的數學美的內容是非常豐富的，只要我們善于去觀察，善于去總結，我們還會有所發現，有所創新。

【參考文獻】

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[3]（美國）莫里斯?？巳R茵著，張里京，張錦炎，江澤涵譯。上海：科技教育出版社。2002

? 考研高等數學解題思想總結

新的考試大綱剛剛出爐，今年的大綱和去年的一摸一樣，連標點符號都沒有任何改動，所以同學們可繼續按照計劃進行學習。考研數學的考試綜合性強、知識覆蓋面廣、難度大。把握數學高分的前提必須要熟知數學考查內容和具體考些什么。數學主要是考基礎，包括基本概念、基本理論、基本運算，數學本來就是一門基礎的學科，如果基本概念、基本運算不太清楚，運算不太熟練那你肯定是考不好的。高數的基礎應著重放在極限、導數、不定積分這三方面，后面當然還有定積分、一元微積分的應用，還有中值定理、多元函數微分、積分等內容，這些內容可以看成那三部分內容的聯系和應用。另一部分考查的是簡單的分析綜合能力。因為現在高數中的一些考題很少有單純考一個知識點的，一般都是多個知識點的綜合。最后就是數學的解應用題能力。解應用題要求的知識面比較廣，包括數學的知識比較要扎實，復習的時候要多加注意。如果能夠圍繞著這幾個方面進行有針對性地復習，取得高分也就不再是難事了。

與此同時，在具體的復習過程中如何規劃復習才能取得事半功倍的效果也是考試普遍關注的問題。數學復習要保證熟練度，從現在開始一天至少保證三個小時。把一些基本概念、定理、公式復習好，牢牢地記住。同時數學還是一種基本技能的訓練，要天天練習，熟悉，技能才會更熟能生巧，更能夠靈活運用，如果長時間不練習，就會對解題思路生疏，所以經常練習是很重要的，天天做、天天看，一直堅持到最后。這樣，基礎和思路才會久久在大腦中成型，遇到題目不會生疏，解題速度也就相應越來越熟練，越來越快。

在復習的過程中首先要明確考試重點，充分把握重點。這個主要依據考試大綱了，認真研讀并按照大綱的要求進行，比如高數第一章的不定式的極限，我們要充分掌握求不定式極限的各種方法，比如利用極限的四則運算、利用洛必達法則等等，另外兩個重要的極限也是重點內容;對函數的連續性的探討也是考試的重點，這要求我們需要充分理解函數連續的定義和掌握判斷連續性的方法。

其次，對于導數和微分，其實重點不是給一個函數求導數，而重點是導數的定義，也就是抽象函數的`可導性。對于積分部分，定積分、分段函數的積分、帶絕對值的函數的積分等各種積分的求法都是重要的題型，總而言之看上不好處理的函數的積分常常是考試的重點。而且求積分的過程中，一定要注意積分的對稱性，我們要利用分段積分去掉絕對值把積分求出來。還有中值定理這個地方一般每年都要考一個題的，多看看以往考試題型，研究一下考試規律。對于微積分部分里，隱函數的求導，復合函數的偏導數等是考試的重點。二重積分的計算，當然數學一里面還包括了三重積分，另外還有曲線和曲面積分，這也是必考的重點內容。一階微分方程，還有無窮級數，無窮級數的求和等。充分把握住這些重點，高數部分考試的內容比較多，數學一、二、三及農學數學要求的也不一樣，所以同學們可以根據大綱復習，扎扎實實的打好基礎，在以后的復習強化階段就應該多研究歷年真題，這樣做也能更好地了解命題思路和難易度，從而使整個復習規劃有條不紊。

扎實的基礎知識復習，合理的自我規劃和練習，逐步解決高數的重要知識點，同時也對出題者命題思路有了一定的了解，如此，考研學子們定能考出一個理想的成績。

? 考研高等數學解題思想總結

首先對極限的總結如下。極限的保號性很重要就是說在一定區間內函數的正負與極限一致。

1、極限分為一般極限，還有個數列極限(區別在于數列極發散的，是一般極限的一種)。

2、解決極限的方法如下

1)等價無窮小的轉化，(只能在乘除時候使用，但是不是說一定在加減時候不能用但是前提是必須證明拆分后極限依然存在)e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等價于Ax等等。全部熟記。(x趨近無窮的時候還原成無窮小)

2)洛必達法則(大題目有時候會有暗示要你使用這個方法)

首先他的使用有嚴格的使用前提。必須是X趨近而不是N趨近。(所以面對數列極候先要轉化成求x趨近情況下的極限，當然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件。還有一點數列極限的n當然是趨近于正無窮的不可能是負無窮!)必須是函數的導數要存在!(假如告訴你g(x)，沒告訴你是否可導，直接用無疑是死路一條)必須是0比0無窮大比無窮大!當然還要注意分母不能為0。

洛必達法則分為三種情況

1)0比0無窮比無窮時候直接用

2)0乘以無窮無窮減去無窮(應為無窮大于無窮小成倒數的關系)所以無窮大都寫成了無窮小的倒數形式了。通項之后這樣就能變成1中的形式了

3)0的0次方1的無窮次方無窮的0次方

對于(指數冪數)方程方法主要是取指數還取對數的方法，這樣就能把冪上的函數移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，(這就是為什么只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近于無窮時候他的冪移下來趨近于0當他的冪移下來趨近于無窮的時候LNX趨近于0)

3、泰勒公式(含有e的x次方的時候，尤其是含有正余旋的加減的時候要特變注意!)e的x展開sina展開cos展開ln1+x展開對題目簡化有很好幫助

4、面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法。取大頭原則項除分子分母!看上去復雜處理很簡單。

5、無窮小于有界函數的處理辦法

面對復雜函數時候，尤其是正余旋的復雜函數與其他函數相乘的時候，一定要注意這個方法。面對非常復雜的函數可能只需要知道它的范圍結果就出來了!

6、夾逼定理(主要對付的是數列極限!)這個主要是看見極限中的函數是方程相除的形式，放縮和擴大。

7、等比等差數列公式應用(對付數列極限)(q絕對值符號要小于1)

8、各項的拆分相加(來消掉中間的大多數)(對付的還是數列極限)可以使用待定系數法來拆分化簡函數。

9、求左右求極限的方式(對付數列極限)例如知道Xn與Xn+1的關系，已知Xn的極限存在的情況下，xn的極限與xn+1的極一樣的，應為極限去掉有限項目極限值不變化。

10、兩個重要極限的應用。這兩個很重要!對第一個而言是X趨近0時候的sinx與x比值。第2個就如果x趨近無窮大無窮小都有對有對應的形式(第二個實際上是用于函數是1的無窮的形式)(當底數是1的時候要特別注意可能是用第二個重要極限)

11、還有個方法，非常方便的方法。就是當趨近于無窮大時候，不同函數趨近于無窮的速度是不一樣的。

x的x次方快于x!快于指數函數快于冪數函數快于對數函數(畫圖也能看出速率的快慢)。當x趨近無窮的時候他們的比值的極限一眼就能看出來了

12、換元法是一種技巧，不會對模一道題目而言就只需要換元，但是換元會夾雜其中

13、假如要算的話四則運算法則也算一種方法，當然也是夾雜其中的。

14、還有對付數列極限的一種方法，就是當你面對題目實在是沒有辦法走投無路的時候可以考慮轉化為定積分。一般是從0到1的形式。

15、單調有界的性質。對付遞推數列時候使用證明單調性。

16、直接使用求導數的定義來求極限，(一般都是x趨近于0時候，在分子上f(x)加減某個值)加減f(x)的形式，看見了有特別注意)(當題目中告訴你F(0)=0時候f(0)導數=0的時候就是暗示你一定要用導數定義!)

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