實驗12 探索等積矩形中的函數關系(導學單)

一、實驗目的:

1通過**等面積矩形邊之間的函數關系，可以加深對反比例函數概念的理解；

2體驗數形結合的思想和模式。

二、實驗操作

1實驗準備：各種規格的矩形紙

實驗內容與步驟

2. 操作與度量

（1）揭下附錄6中的所有矩形紙片，并貼在38頁的直角坐標系的第一象限中（設直角坐標系中每一個小正方形的邊長為1），使矩形紙片的一個頂點與原點o重合，相鄰兩邊分別在x軸、y軸上..

（2） 設x軸矩形邊長為x，y軸矩形邊長為y，請填寫下表：

3. 觀察與思考

（1） 看看**中的數據，你發現了什么？

（2）y是x的函數嗎？如果是，寫出函數表達式.

（3）將這些矩形紙片右上角的頂點用光滑的曲線依次連接起來，你發現這個圖形有什么特點?可以是2（2）中函數的圖像嗎？說明理由.

三、典型例題

例1. 如圖，p是反比例函數的圖象上一點，過p點分別向x軸、y軸作垂線，所得到的圖中陰影部分的面積為6，求這個反比例函數的解析式。

例2。如圖所示，a點在反比例函數圖上，ab垂直于x軸，垂直腳為b，求出△oab的面積。

例3. 如圖，正比例函數與反比例函數的圖象相交于a、c兩點，過a點作x軸的垂線交x軸于b，連結bc，則△abc面積s為多少？

四、基礎練習:

1如圖所示，圖象上通過反比例函數的任意兩點a、b分別垂直于x軸，垂直腳分別為c和d，連結oa和ob。設ac與ob的交點為e，△aoe與梯形ecdb的面積分別為s1、s2，比較它們的大小，可得（ ）

一種。 bcd大小關系無法確定

2.如圖，點a在雙曲線上，點b在雙曲線上且ab∥x軸，c、d在x軸上，若四邊形abcd為矩形，則它的面積為_______

3.如圖，a、b是函數的圖象上關于原點o對稱的任意兩點，ac平行于y軸，bc平行于x軸的面積為s，則（ ）

a、 s＝1 b.12

4. 如圖，正比例函數與反比例函數的圖象相交于a、c兩點，過a點作x軸的垂線，交x軸于b，過c作x軸的垂線，交x軸于d，則四邊形abcd的面積為

五、中考鏈接

例4.如圖，反比例函數(x>0)與矩形oabc的邊ab、bc交于f、

e兩點，be=ce，四邊形oebf的面積為2

1.求證：af=bf；2.求三角形oaf的面積；3.求k的值

六、課后思考

1rtδaob的頂點a是一條直線y=x+11-m雙曲線

在第一象限的交點處，且sδaob=3。

（1）求m的值；

（2）求點c坐標。

2. 已知：直線ab過點a（m,0) b(0,n)(m>0,n>0)。逆比例函數的圖象在c和d處與ab相交。若,

求n的值。

（4）正反比例函數思想總結

[教學目標]

1．回顧反比例函數的概念．通過實際問題，進一步感受用反比例函數解決實際問題的過程與方法，體會反比例函數是分析、解決實際問題的一種有效的模型．

2．歸納總結反比例函數的圖象和性質，進一步體會形數結合的數學思想方法．

[教學過程]

1．回顧、梳理本章的知識：

如同已經學過的有關方程、函數的內容一樣，本章內容分為3塊：

（1）從生活到數學：從問題到反比例函數，即建構實際問題的數學模型；

（2）數學研究：反比例函數的圖象與性質；

（3）用數學解決問題：反比例函數的應用．

2．可以設計一組問題，重點歸納、整理反比例函數的圖象與性質，進一步感受形數結合的數學思想方法．例如：

（1）由形到數——用待定系數法求反比例函數的關系式；由圖象的位置或圖象的部分確定函數的特征；

（2）由數到形――根據反比例函數關系式或反比例函數的性質，確定圖形的位置、趨勢等；

（3）形數結合——函數的圖象與性質的綜合應用

2例如：如圖，點Ｐ是反比例函數y？上的一點，ＰＤ垂直x軸于點Ｄ，則△xＰＯＤ的面積為________

3．設計一個實際問題，讓學生經歷“問題情境一建立模型一求解一解釋與應用”的基本過程．

例如：為了預防“非典”，某學校對教室采用藥薰法進行消毒．已知藥物燃燒時．室內每立方米空氣中的含藥量y（mg）與時間x（min）成正比例，藥物燃燒后，y與x成反比例（如圖）．現測得藥物8min燃畢，此時室內空氣中每立方米含藥量為6mg。

（1）寫出藥物燃燒前、后y與x的函數關系式；

（2）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量低于1.6mg時，學生方可進教室．那么從消毒開始，至少需要多少時間，學生方能進入教室？

（3）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量不低于3mg且持續時間不少于10min時，才能有效滅殺空氣中的病菌，那么這次消毒是否有效？

（5）正反比例函數思想總結

一、教材分析：

本節課學習的主要內容是畫反比例函數的圖象，讓學生經歷畫圖、觀察、猜想、思考等數學活動，初步認識具體的反比例函數圖象的特征。反比例函數的圖象是在學生已經知道了研究函數圖象的一般方法，以及一次函數的圖象是一條直線的基礎之上進一步去研究的。同時，反比例函數的圖象也與眾不同。針對教材及學生的實際情況，本節課的設計是讓學生多動手去探索規律。

二、教學目標：

知識與技能：

(1)作反比例函數的圖象。

(2)掌握反比例函數的圖象與性質。

過程與方法：

逐步提高從函數圖象中獲取信息的能力，和數形結合的能力。

情感、態度與價值觀:

培養學生積極參與，樂于探究，善于交流的意識和習慣。

三、教學重難點

教學重點：學習反比例函數圖象的畫法，概括反比例函數圖象的共同特征。

教學難點：從反比例函數的圖象中歸納總結反比例函數的主要性質。

四、教學過程：

(一)創設情境、提出問題

我們已經知道一次函數的圖象是一條直線，那么反比例函數(k為常數，k≠0)的圖象是什么呢?猜猜看，應該怎么畫呢?(讓學生根據已有的知識經驗，回憶畫函數圖象的一般方法與步驟，類比一次函數的圖象進行猜想)

(二)動手實踐、解決問題

1、畫圖:畫出反比例函數的圖象在教師的引導下，讓學生通過親自動腦、動手實踐去科學地驗證自己的猜想，培養學生科學的態度與精神。

師：畫函數圖象的第一個步驟是什么?

生：列表。

師：(大屏幕投影：表格)根據前面學習一次函數的經驗，列表時應注意什么?

生：應注意自變量x的取值范圍，本題當中x≠0。

師：是不是把所有的x不等于零的值全都列舉出來?

生：不是。

師：那怎么取值呢?(學生討論)

生：為了便于計算和描點，我們通常取x>0和x<0的一些整數值。

師：(大屏幕投影)那么，對應的y值分別是多少呢?(學生填表、口答答案。)

目的:讓學生回憶、類比，注意比較與畫一次函數的圖象時列表的相同點與不同點。

師：列表之后，我們得到了幾組x、y的對應值，即幾組有序實數對，如何用直角坐標系中的點把它們表示出來呢?也就是如何描點?

生：以表中x的值作為點的橫坐標，y的值作為點的縱坐標依次描點。

①學生描點

②教師利用多媒體課件演示描點的動畫過程。

友情提醒：描點可要細心哦!

目的:讓學生獨立描點，觀察描出的點的位置。培養學生細心的良好品質。

師：如何把描出的點連接起來，從而畫出它的圖象呢?

①學生連接。

②教師利用實物投影儀展示學生成果。

師：這里有同學們畫的一些反比例函數的圖象，我從中選出了四幅圖象，請同學們仔細觀察并進行討論這四幅圖象畫得對還是不對?如果不對，它們分別錯在哪里?為什么?(學生分析討論)

生：第一幅圖象是對的;第二、三、四幅圖象都是錯誤的，錯誤的原因是：沒有注意到自變量x的取值范圍是x≠0的全體實數師：一位同學有這樣一種想法：“在相鄰的兩點之間用線段來連接?！边@種想法對嗎?如果不對，錯在哪里?為什么?學生分組討論。學生相互討論生：除了線段兩個端點的坐標滿足函數解析式之外，線段上其余各點的坐標都不滿足函數解析式。所以用線段連接的方法是錯誤的。

師：除了已描好的點之外，你還能不能找到其它坐標滿足函數解析式的點，比如橫坐標在大于1小于2之間?

師：那么，應當用什么樣的線來連接呢?

生：應當用平滑的曲線順次連接。

目的:師生互動、生生互動，讓學生充分參與、經歷畫圖的過程，體會知識的形成過程;通過對學生畫圖個案的評析、多媒體課件填充點的過程演示、以及學生的認真觀察、思考，探索得出重要的結論：應當用平滑的曲線順次連接。學生自發的為自己發現的結論鼓掌，讓學生品嘗到成功的喜悅，增強學生的自信心。教師利用多媒體課件演示連接的過程：用平滑的曲線先順次連接第一象限內的各點，得到圖象的一個分支;然后再順次連接第三象限內的各點，得到圖象的另一個分支。把兩個分支組合在一起就得到了反比例函數的圖象。

2、猜想：反比例函數的圖象在什么象限?請你在下面的平面直角坐標系內畫出它的圖象。

師：剛才，我們畫出了k=6時，反比例函數的圖象。請同學們猜想一下，k=-6時，反比例函數的圖象在什么象限?為什么?

生：圖象分布在二、四象限。由k=-6得xy=-6所以x、y異號所以反比例函數的圖象分布在二、四象限。

3、師：請同學們畫圖驗證自己的猜想。

4、①學生畫圖驗證

②相互交流成果檢驗自己的猜想是否正確。

目的:讓學生先類比k=6時，反比例函數的圖象的位置，猜想k=-6時，反比例函數的圖象的位置;然后，再獨立畫圖驗證自己的猜想。培養學生類比、猜想、說理、獨立畫圖驗證的能力。

師：(大屏幕投影：顯示畫圖象的全過程)請同學們觀察反比例函數的圖象，注意比較與一次函數圖象有哪些不同?討論反比例函數的圖象具有那些特征(學生分組討論)

生：①一次函數的圖象是一條直線，反比例函數的圖象是由兩個分支組成的，而且都是曲線;

②一次函數的圖象與x、y軸有交點，反比例函數的圖象與x、y軸沒有交點;

③反比例函數的圖象的兩個分支關于原點成中心對稱。

④反比例函數的圖象的兩個分支被坐標軸隔開，它們可以無限地靠近x、y軸，但是永遠不能與x、y軸有交點;

師：反比例函數的圖象有許多的特征，在今后的學習當中，我們會逐步地去認識它。

設計目的:通過觀察圖象并比較與一次函數圖象的不同點，讓學生初步認識具體的反比例函數圖象的特征。)

五、本節課你學到了什么?有哪些收獲?

生：①畫反比例函數的圖象的方法

②知道了反比例函數的圖象是雙曲線

③反比例函數的圖象不與坐標軸有交點

④反比例函數的圖象是中心對稱圖形

（6）正反比例函數思想總結

教學目標

1. 經歷從實際問題抽象出反比例函數的探索過程，發展學生的抽象思維能力。

2. 理解反比例函數的概念，會列出實際問題的反比例函數關系式。

3. 使學生會畫出反比例函數的圖象。

4. 經歷對反比例函數圖象的觀察、分析、討論、概括過程，會說出它的性質。

教學重點

1、 使學生了解反比例函數的表達式，會畫反比例函數圖象

2、 使學生掌握反比例函數的圖象性質

3、 利用反比例函數解題

教學難點

1、 列函數表達式

2、 反比例函數圖象解題

教學過程

教師活動

一、作業檢查與講評

二、復習導入

1.什么是正比例函數?

我們知道當

(1) 當路程s一定，時間t與速度v成反比例，即vt=s(s是常數)

(2) 當矩形面積一定時，長a和寬b成反比例，即ab=s(s是常數)

創設問題情境

問題1：小華的爸爸早晨騎自行車帶小華到15千米外的鎮上去趕集，回來時讓小華乘坐公共汽車，用的時間少了。假設自行車和汽車的速度在行駛過程中都不變，爸爸要小華找出從家里到鎮上的時間和乘坐不同交通工具的速度之間的關系。

分析 和其他實際問題一樣，要探求兩個變量之間的關系，就應先選用適當的符號表示變量，再根據題意列出相應的函數關系式.

設小華乘坐交通工具的速度是v千米/時，從家里到鎮上的時間是t小時.因為在勻速運動中，時間=路程÷速度，所以

從這個關系式中發現:

1.路程一定時，時間t就是速度v的反比例函數.即速度增大了，時間變小;速度減小了，時間增大.

2.自變量v的取值是v>0.

問題2：學校課外生物小組的同學準備自己動手，用舊圍欄建一個面積為24平方米的矩形飼養場.設它的一邊長為x(米)，求另一邊的長y(米)與x的函數關系式.

分析 根據矩形面積可知

xy=24，即

從這個關系中發現：

1.當矩形的面積一定時，矩形的一邊是另一邊的反比例函數.即矩形的一邊長增大了，則另一邊減小;若一邊減小了，則另一邊增大;

2.自變量的取值是x>0.

（7）正反比例函數思想總結

函數y=k/x 稱為反比例函數，其中k≠0，其中X是自變量，

1.當k>0時，圖象分別位于第一、三象限，同一個象限內，y隨x的增大而減小;當k<0時，圖象分別位于二、四象限，同一個象限內,y隨x的增大而增大。

2.k>0時，函數在x<0上同為減函數、在x>0上同為減函數;k<0時，函數在x<0上為增函數、在x>0上同為增函數。

4..因為在y=k/x(k≠0)中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函數的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交。 但隨著x無限增大或是無限減少，函數值無限趨近于0，故圖像無限接近于x軸

5. 反比例函數的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸 y=x y=-x(即第一三，二四象限角平分線)，對稱中心是坐標原點。

(k為常數，k≠0)的形式，那么稱y是x的反比例函數。

其中，x是自變量，y是函數。由于x在分母上，故取x≠0的一切實數，看函數y的取值范圍，因為k≠0，且x≠0，所以函數值y也不可能為0。

補充說明：1.反比例函數的解析式又可以寫成： (k是常數，k≠0).

2.要求出反比例函數的解析式，利用待定系數法求出k即可.

⑴等號左邊是函數，等號右邊是一個分式。分子是不為零的常數(也叫做比例系數)，分母中含有自變量，且指數為1。

⑶自變量的取值為一切非零實數。

⑷函數的取值是一切非零實數。

（8）正反比例函數思想總結

教學目標

(一)教學知識點

1.進一步鞏固作反比例函數的圖象.

2.逐步提高從函數圖象中獲取信息的能力，探索并掌握反比例函數的主要性質.

(二)能力訓練要求

1.通過畫反比例函數圖象，訓練學生的作圖能力.

2.通過從圖象中獲取信息，訓練學生的識圖能力.

3.通過對圖象性質的.研究，訓練學生的探索能力和語言組織能力.

(三)情感與價值觀要求

讓學生積極投身于數學學習活動中，有助于培養他們的好奇心與求知欲.經過自己的努力得出的結論，不僅使他們記憶猶新，還能建立自信心.由學生自己思考再經過合作交流完成的數學活動，不僅能使學生學到知識，還能使他們互相增進友誼.

教學重點

通過觀察圖象，歸納概括反比例函數圖象的共同特征，探索反比例函數的主要性質.

教學難點

從反比例函數的圖象中歸納總結反比例函數的主要性質.

教學方法

教師引導學生類推歸納概括學習法.

教具準備

投影片三張

第一張：(記作5.2.2A)

第二張：(記作5.2.2B)

第三張：(記作5.2.2C)

教學過程

Ⅰ.創設問題情境，引入新課

[師]上節課我們學習了畫反比例函數的圖象，并通過圖象總結出當k0時，函數圖象的兩個分支分別位于第一、三象限內;當k0時，函數圖象的兩個分支分別位于第二、四象限內.并討論了反比例函數

（9）正反比例函數思想總結

在進行初中函數教學時，一直以為學生掌握函數的解析式與性質比較容易，課堂上通過“情景引入------探究新知------知識應用-------回顧反思”幾個環節，老師主導講解，學生在老師講解后進行同式變形練習就行，然而學生聽是聽懂了，但真動手做起來，準確率太低。單獨的一個知識點而言，他們掌握還是很容易，一旦與前后的知識融合在一起就不知所措了。這就是教學中缺少對知識的連貫性與系統性的研究，沒有讓學生將知識融會貫通、整體系統地理解與掌握知識，從而導致教學的誤區與不佳的教學效果。例如：反比例函數性質的教學，我們通過畫圖得出了反比例函數的性質，然而學生在應用時只知道用反比例函數的性質，如：在函數y=kx-1(k<0)的圖像上有A(1,y1)、B(-1,y2)、C(-3,y3)三個點，則下列各式中正確的是（ ）

(A)y1< y2< y3 (B)y1

對于此例來說，在教學中產生誤區，這樣就根據性質“當k<0時，y值隨x值的增大而增大”，就選C答案，但必須對性質里的“在每個象限內”的知識結合圖像進行理解，應該選B答案。再如：函數y=（m+2）xn是反比例函數，且n=m2-5，求m的值。在教學中產生誤區，給學生強調不夠，導致學生只對m2-5=1進行計算，得出m=2或m=-2，答案是錯誤的，根據“在每個象限內，y隨著x的減小而增大”，應該讓反比例的系數大于為零，這樣①m+2>0和②m2-5=1同時滿足，得出m=2的答案，等等。

復習反比例函數的概念及識別，回憶一次函數的圖象，讓學生帶著疑問探索新知，調動學生的求知欲，同時也加強了新舊知識的聯系，讓知識系統化。

從直觀入手，讓學生用描點法親自動手畫出反比例函數的圖象，根據自己畫出的圖象，與老師畫出的圖象作比較，通過討論，教師引導得出反比例函數的'圖象是雙曲線及它的性質，特別強調兩個地方：一是“同一象限”二是“系數k不能為零”。

強調結合函數圖象，理解記憶，而不是機械記憶，很好地培養了學生對數形思想的理解和應用。以學生的認知發展水平和已有的經驗為基礎，把抽象的函數數量關系轉化為適當的幾何圖形，從圖形的直觀特征數量之間存在的聯系，以達到化難為易、化繁為簡的目的。

用一首旋律優美的數學歌曲《雙曲線》（歌曲的內容恰是反比例函數的性質）將本節知識點蘊涵其中，既提升了學生對反比例函數圖象與坐標軸關系的理解，又增強了學生對數學的興趣。

5、對同類的知識進行系統的歸納與復習在學習反比例函數前，已經學習了一次函數（包括正比例函數），可以將反比例函數的性質與一次函數的性質進行歸納，放在一起整體復習。

（10）正反比例函數思想總結

反比例函數的圖像和性質

反比例函數是高中數學中的一種重要函數，也是函數的基本類型之一。它的函數公式為y=k/x，其中k為常數，x≠0。通常情況下，反比例函數是一種下降的曲線，當自變量x增大時，函數值y減小，反之亦然。在本文中，我們將深入探究反比例函數的圖像和性質的相關知識。

反比例函數的圖像

反比例函數的圖像通常是一條下降的曲線，其中，x軸長短線上的點表示自變量，y軸長短線上的點表示函數值。反比例函數的圖像不過是一組曲線，它們有著很多相同的性質，下面我們將分別討論它們的特點。

首先，反比例函數的圖像可以通過直接畫出其函數值來得到。因為反比例函數的函數公式中的k為一個常數，所以我們可以在畫圖時選取任意一個k值來畫出函數的圖像，然后通過調整k值來得到更多曲線。當k值增大時，曲線的開口會向下收縮，反之亦然。

其次，反比例函數的圖像有兩條特殊的曲線，分別是x軸和y軸。當自變量x為0時，函數值y并沒有無限趨于0的趨勢，因此x軸上有一條垂直于y軸的直線。相似地，當函數值y為0時，自變量x也不會無限趨于0，因此y軸上也有一條垂直于x軸的直線。這兩條特殊曲線被稱為反比例函數的漸近線，它們能夠幫助我們更好地理解反比例函數的圖像。

反比例函數的性質

反比例函數是一種重要的數學函數，它具有許多特殊的性質。下面我們將分別從函數的定義、導數、極值、單調性、對稱性和漸近線等方面來闡述其性質。

1. 函數的定義：反比例函數的最大特點在于其函數公式的分母中包含了自變量x。因此，在求函數值時我們必須排除x=0的情況。另外，當x>0時，函數值y0。只有當x=0時，函數值不存在。

2. 導數：由于反比例函數的導數比較復雜，一般來說我們不會求導數來確定其極值和單調性。但是在某些情況下，求導數還是很有必要的。當我們需要求反比例函數的曲線的傾斜程度或者圖像在某個點的斜率時，就需要求導數來解決問題。

3. 極值：反比例函數最大或最小的值出現在兩個特殊點上，即x=0和y=0?？梢宰C明，在直線x=0上函數取得最大值，而在y=0上函數取得最小值。這兩個點都是反比例函數的拐點，并且是異于常函數的唯一特征。

4. 單調性：當自變量x增加時，函數值y減小，也就是說，反比例函數是單調遞減的。由于反比例函數在每個拐點處都不連續，因此在某些情況下它并不會單調遞減。

5. 對稱性：反比例函數的圖像有兩個軸對稱。既有y軸對稱，也有x軸對稱。這意味著如果我們在圖像上求出了一個點，那么這個點的對稱點也必然存在于圖像上。

6. 漸近線：反比例函數的漸近線可以幫助我們更好地理解該函數。對于該函數，其x軸的漸近線在y軸的正方向上趨近于零，y軸的漸近線在x軸的正方向上趨近于零。這也就是反比例函數的重要特點之一。通過這些漸近線的特性，我們可以更好地預測反比例函數的行為，從而更好地應用它們。

總結

反比例函數是一種重要的數學函數。其圖像是一組曲線，有兩個特殊的漸近線。反比例函數的性質包括函數的定義、導數、極值、單調性、對稱性和漸近線等。對于任何一個數學學生來說，了解反比例函數及其性質都是必要的。這樣才能更好地掌握函數的重要性，并應用它們來解決實際問題。

（11）正反比例函數思想總結

(1)知識結構

(難點分析

本節的重點是結合圖象，總結出反比例函數的性質.學習了前面三個基本函數后，學生有了一些識圖的能力，并掌握了基本的研究方法.學生在經歷了一個畫圖的過程后，可以通過觀察、分析、與同學的相互討論、交流中，逐步形成對反比例函數的全面認識.可以培養學生運用數形結合的數學思想方法，也是一個數學地發現問題解決問題的過程.本節的另一個重點是用待定系數法求反比例函數的解析式，這種方法在求四種基本函數解析式中都已經用到，本節課通過鞏固練習，可進一步提高對待定系數法的認識.例如學生可以觀察出有幾個待定系數，就需要幾對自變量與函數的對應值，即幾個方程.

本節的難點是描點、畫圖，由于學生知識的限制，描點、畫圖不能對圖形有一個全面的把握.這樣，學生在描點畫圖時就會感到困難，無法估計出這個圖象到底是什么樣子，感到無從下手.因此，從解析式中可以進行初步的分析，認識到反比例函數的圖象分成兩支，以便初步認識其圖象的大致變化趨勢.

教法建議

數學教育的目的之一是幫助學生認識數學，數學與現實世界有著密切的聯系，而且數學的發展是一個充滿著觀察、實驗、歸納、類比和猜測的探索過程，因此，學生在獲得知識的同時，也應該養成尊重客觀事實的態度，勇于探索的精神以及獨立思考與人合作交流的習慣.具體安排如下：

(1)從實例中抽象出數學模型

小學學習過反比例關系的知識，現在的物理、化學等學科中也有許多反比比例的實例.學生可以從比較簡單的實例中，抽象出這類函數的特點，形成反比例函數的概念.

(2)畫出圖象，研究反比例函數的性質

可以創設數學情境，引導學生找出數與形的關系.如：k>三象限，k

(3)牢固掌握待定系數法

進一步熟悉待定系數法解題的一般步驟，并通過不斷地運用，逐漸發現有幾個待定系數，就應列出幾個相應的方程.這樣反比例函數只需一對自變量與函數的對應值就可確定其解析式.

教學目標

1、使學生能從簡單的實際問題中抽象出反比例關系的函數解析式;

2、會畫出反比例函數的圖象，并能結合圖象總結出反比例函數的性質，滲透數形結合的數學思想;.

3、會用待定系數法求反比例函數的解析式;

4、通過揭示正比例函數與反比例函數的.聯系與轉化，滲透辯證唯物主義的思想;

歸納、總結反比例函數的性質，培養學生勇于探索的科學精神;

6、培養學生數學地發現問題，并利用數學知識解決問題的能力.

教學重點：

反比例的概念、圖像、性質以及用待定系數法確定反比例函數的解析式.因為要研究反比例函數就必須明確反比例函數的上述問題.

教學難點：

畫反比例函數的圖像，因為反比例函數的圖像有兩個分支，而且這兩個分支的變化趨勢又不同，學生初次接觸，一定會感到困難.

教學過程：

一、新課引入：

看下面的實例：(出示幻燈)

1.小紅家到學校的路程有5公里，寫出她上學所用的時間t與速度v的函數關系式;

2.有一個矩形面積是3平方米，寫出它的長a與寬b之間的函數關系式;

3.十一放七天假，老師布置要記憶36個單詞.設小明完成的天數為n，每天的單詞量為m，寫出m 與n 的函數關系式?

答：從函數的觀點看，在運動變化的過程中，這兩個變量可以分別看成自變量與函數，寫成： ( )， ( )， ( )

二、新課講解：

1、讓學生觀察這幾個函數的特點，然后得出反比例函數的概念：(板書)

一般地，函數 (k是常數， )叫做反比例函數.

注意：自變量的指數是 -1，而不是1.

例y表示反比例函數關系?

⑴ ⑵ ⑶

例2、寫出下列函數的解析式，并判斷他們是不是反比例函數，如果是，求出他們的定義域.

⑴一個圓柱形鋼材的體積是800cm3,寫出它的底面積 和高 的函數關系.⑵壓強大小是由單位面積所受到的壓力決定的，那么當物體受到的垂直壓力為100牛時，寫出壓強與受力面積的函數關系.

2、根據前面學習特殊函數的經驗，研究完函數的概念，跟著要研究的是什么?

答：圖像和性質.

通過這個問題，使學生對課本上給出的知識的發生、發展過程有一個明確的認識，以后

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學生要研究其他函數，也可以按照這種方式來研究.

下面，我們就來看一個例題：(出示幻燈)

例3、在平面直角坐標系中畫出反比例函數 與 的圖像.

提問：⑴畫函數圖像的關鍵問題是什么?

答：合理、正確地選值列表.

⑵在選值時，你認為要注意什么問題?

答：Ⅰ、由于函數圖像的特點還不清楚，多選幾個點較好;

Ⅱ、不能選 ，因為 時函數無意義;

Ⅲ、選整數較好計算和描點.

這個問題中最核心的一點是關于 的問題，提醒學生注意.

⑶你能不能自己完成這道題呢?

解：列表

x -6 -5 -4 -3 1 2 3 4 5 6

-1 -1.2 -1.5 -2 6 3 2 1.5 1.2 1

1 1.2 1.5 2 -6 -3 -2 -1.5 -1.2 1

說明：由于學生第一次接觸反比例函數，無法推測出它的大致圖象.取點的時候最好多取幾個，正負可以對稱著取分別畫點描圖

學生在練習本上列表、描點、連線，教師在黑板上板演，到連線時可暫停，讓學生先連完線之后，找一名同學上黑板連線，然后就這名同學的連線加以評價、總結.

注意：(1)一般地反比例函數 (k是常數， )的圖象由兩條曲線組成，叫做雙曲線;

(2)這兩條曲線不相交;

(3)這兩條曲線無限延伸，無限靠近x軸和y軸，但永不會與x軸和y軸相交.

關于注意(3)可問學生：為什么圖像與x和y軸不相交?

通過這個問題既可加深學生對反比例函數圖像的記憶又可培養學生思維的靈活性和深刻性.

歸納、總結出反比例函數的性質：

(1)當 時，雙曲線的兩個分支各在哪個象限內?在每個象限內，y隨x的增大怎樣變化?

(2)當 時，雙曲線的兩個分支各在哪個象限內?在每個象限內，y隨x的增大怎樣變化?

這兩個問題由學生討論總結之后回答，教師板書：

(三象限，y隨x的增大而減少;

從解析式中，也可以得出這個結論：xy=k，即x與y同號，因此，圖象在第一、三象限.

(四象限，y隨x的增大而增大.

抓住機會，說明數與形的統一，也滲透了數形結合的數學思想方法.體現了由特殊到一般的研究過程.

注意：同樣可以推出函數 的圖象的性質.

4、反比例函數的這一性質與正比例函數的性質有何異同?

通過這個問題使學生能把學過的相關知識有機地串聯起來，便于記憶和應用.

5、反比例函數的簡單練習：

上面，我們討論了反比例函數的概念、圖像和性質，下面我們再來看一個不同類型的例題：

例4、選擇題：

1、在同一坐標系內，函數 與 的圖象的交點個數為( ).

(A) 0個 (B) 1個 (C) 2個 (D)4個

2、若反比例函數 的圖象在它所在的象限內，y隨x的增大而增大，則m的值是( )

(A)-2. (B)2. (C)±2. (D)以上結果都不對.

三、課堂小結：教師提問，學生思考回答：

1.什么是反比例函數?

2.反比例函數的圖像是什么樣的?

3.反比例函數 的性質是什么?

選擇題出現，在低檔題中，近兩年各省、市的中考試卷中出現不少將反比例函數與一次函數、幾何知識、三角知識等綜合編擬的解答題，豐富了壓軸題的形式和內容.

四、布置作業P80 練習1，2

五、板書設計

反比例函數及其圖像

引例：(1)例1：例2：例3：

例4：

1.反比例函數的圖象：

2.反比例函數的性質

六、補充材料：

馬爾克廣場上的游戲

在世界著名的水都威尼司斯，有個馬爾克廣場.廣場的一端有一座寬82米的雄偉教堂.教堂的前面是一方開闊地.這片開闊地經常吸引著四方游人到這里做一種奇特的游戲：把眼睛蒙上，然后從廣場的一端向另一端教堂走去，看誰能到達教堂的正前面!

奇怪的是，盡管這段距離只有175米，但卻沒有一名游客能幸運地做到這一點!全都如下圖那般，走成了弧線，或左或右，偏斜到了一邊!

類似的情形也有很多，這與俗話說的鬼打墻類似.有許多人在沙漠或雪地里，由于迷失方向而在原地打圈子，這一切近乎玩笑般的遭遇，終于引起了科學家的注意.

公元1896年，挪威生理學家古德貝對閉眼打轉的問題進行深入的探討.他搜集了大量的事例后分析說：這一切都是由于人自身兩條腿在作怪!長年累月養成的習慣，使每個人一只腳伸出的步子長一段微不足道的距離.而正是這一段很小的步差x，導致了這個人走出一個半徑為y的大圈子!

現在我們將這個過程數學化，研究一下x與y之間的函數關系.

假定某個兩腳踏線間相隔為d.很顯然，當人在打圈子時，兩只腳實際上走出了兩個半徑相差為d的同心圓.設該人平均步長為1.那么，一方面這個人外腳比內腳多走路程

另一方面，這段路程又等于這個人走一圈的步數與步差的乘積，

即：

對一般的人， 米， 米，代入得(單位米)

這就是所求的迷路人打圈子的半徑公式.是我們學過的反比例函數(圖象如下圖).今設迷路人兩腳步差為 毫米，僅此微小的差異，就足以使他在大約三公里的范圍內繞圈子!

讓我們回到那個馬克爾廣場的游戲上來.我們先計算一下，當人們閉起眼睛，從廣場一端中央的M點，要想抵達教堂CD，最小的弧線半徑應該是多少?

如圖，注意到矩形ABCD邊BC=175(米)， (米).上述問題可以轉化成幾何中的命題：已知 與 .求 的半徑 的大小.

這就說,游人要想成功,他所走弧線半徑必須不小于394米.我們再來計算一下，要達到上述要求，游人的兩腳步差需要什么限制.

這表明游人的兩只腳步差必須小于 毫米，否則就難以成功.然而在閉眼的情況下兩腳這么小的步差一般人是達不到的，這就是在游戲中為什么沒有人能夠蒙上眼睛走到教堂前面的道理。

（12）正反比例函數思想總結

（13）正反比例函數思想總結

1．回顧反比例函數的概念．通過實際問題，進一步感受用反比例函數解決實際問題的過程與方法，體會反比例函數是分析、解決實際問題的一種有效的模型．

2．歸納總結反比例函數的圖象和性質，進一步體會形數結合的數學思想方法．

1．回顧、梳理本章的知識：

如同已經學過的有關方程、函數的內容一樣，本章內容分為3塊：

（1）從生活到數學：從問題到反比例函數，即建構實際問題的數學模型；

（2）數學研究：反比例函數的圖象與性質；

（3）用數學解決問題：反比例函數的'應用．

2．可以設計一組問題，重點歸納、整理反比例函數的圖象與性質，進一步感受形數結合的數學思想方法．例如：

（1）由形到數——用待定系數法求反比例函數的關系式；由圖象的位置或圖象的部分確定函數的特征；

（2）由數到形――根據反比例函數關系式或反比例函數的性質，確定圖形的位置、趨勢等；

（3）形數結合——函數的圖象與性質的綜合應用

2例如：如圖，點Ｐ是反比例函數y？上的一點，ＰＤ垂直x軸于點Ｄ，則△xＰＯＤ的面積為________

3．設計一個實際問題，讓學生經歷“問題情境一建立模型一求解一解釋與應用”的基本過程．

例如：為了預防“非典”，某學校對教室采用藥薰法進行消毒．已知藥物燃燒時．室內每立方米空氣中的含藥量y（mg）與時間x（min）成正比例，藥物燃燒后，y與x成反比例（如圖）．現測得藥物8min燃畢，此時室內空氣中每立方米含藥量為6mg。

（1）寫出藥物燃燒前、后y與x的函數關系式；

（2）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量低于1.6mg時，學生方可進教室．那么從消毒開始，至少需要多少時間，學生方能進入教室？

（3）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量不低于3mg且持續時間不少于10min時，才能有效滅殺空氣中的病菌，那么這次消毒是否有效？

（14）正反比例函數思想總結

反比例函數的圖形與性質

一提到函學這個詞，大家都覺得它是由數學的代數式轉化到圖形的數行結合。函數它本身不只是由“數轉化為形”，它有更豐富的內涵，它與人的生活息息相關函數是對現實世界的一種思考、描述刻畫、解釋、理解，其目的是發現現實世界中所蘊藏 的`一些數與形的規律，為社會的進步與人類的發展服務。

他的教學特點如下：

語言清楚、流暢，利用多媒體進行輔助教學，提高教學密度。

畫出光滑的曲線，切忌用折線（適當。根據圖像引導學生得出反比例函數的性質，利用中心對稱的性質指導學生畫出反比例函數圖像的另一支圖像，使學生掌握畫圖的方法；引導學生怎樣利用圖像上的信息求函數解析式，并且做了適當的鞏固練習。

我的幾點建議：

1、教學的激情不高，語言平服，節奏性不強；

2、學生參與面不廣，應調動學生積極參與，課堂氣氛不活躍；

理解反比例函數的性質，加強書寫格式、以及解題的習慣。

4、教師畫圖要規范，起著師范的作用。

（15）正反比例函數思想總結

正、反比例復習課導學案 紅土學校 劉麗花

復習內容: 正、反比例的應用。 學習目的：

1.通過練習，進一步理解和掌握正、反比例意義及應用題的解題規律。 2.通過一題多解等形式，由淺入深，由易到難，培養學生思維的靈活性。 學習重點：

找出相關聯量中相對應的兩個數。 學習難點：

用兩個變量來表示定量。 學習過程： 一．溫故知新。 問題一

正比例和反比例的意義有什么共同點和不同點？ 問題二

用比例解決實際問題可以歸納為哪幾個步驟？ 二．鞏固練習。

（一）。下面各題里相關聯的兩種量成不成比例，如果成比例，成什么比例？

1.總價一定，單價和數量。 （ ） 2.比例尺一定，圖上距離和實際距離。 （ ） 3.全班人數一定，出勤人數和缺勤人數 。（ ） 4 .一個圓的直徑和周長。 （ ） 5.一根鐵絲剪成同樣長的段數與每段的長度。（ ）

（二）選擇題 1.從南京到南通，汽車車輪的直徑與轉數（ ）。

① 成正比例 ② 成反比例 ③ 不成比例 2.當（ ）時，x 和 y 成正比例。

① x × y = k （一定） ② = k（一定）

③ x + y = k （一定）

3.步測一段距離，每步的平均長度和步數（ ）。

① 成正比例 ② 成反比例 ③ 不成比例

（三）比一比，想一想， 你會列比例嗎？

（1）黎明發電廠運來一批煤，計劃每天燒6噸，可以燒54天。實際每天比計劃節約了2噸，這樣可以燒幾天？

（2）電視機廠要生產640臺電視機，前8天共生產了總任務的10％。照這樣計算，后來又生 產18天，又生產了多少臺？

三．拓展練習 你看我多棒 你會列幾種比例解？

1.用一臺打字機打字，6小時打36頁，照這樣計算，如果再打4小時，一共可以打字多少頁？

想挑戰嗎？

奇怪！一道題同時可以用正反兩種比例解！你相信嗎？

2.一輛汽車原計劃每小時行80千米，從甲地到乙地要小時。實際小時可行駛36千米。照這樣的速度，行完全程實際需要幾小時？

四．小結

通過本節課的學習，自己有什么收獲。

正比例教學設計

正比例教學反思

《正比例函數》教學反思

比與比例教學設計

正比例函數教學設計（共5篇）

（16）正反比例函數思想總結

正比例∶

(1) 珍珍看50頁的故事書要花35分鐘，看250頁需要幾分鐘？

(2) 牛牛超級市場促銷苦瓜汽水，3瓶特價25元。那購買9瓶要花多少元？

(3) 1公升的紅茶加12公克的'糖最好喝，那請問幾公升的紅茶加20公克的糖最好喝？

(4) 4張郵票44元，96元可買郵票多少張？

(5) 2個首飾盒定價80元，買7個要多少元？

(6) 小明做4小時工作可獲薪金112元,那么他做7小時能獲得多少元？

(7) 薯片9包賣63元，4包賣多少元？

(8) 48只雞蛋可裝成4盒，144只雞蛋可裝成多少盒？

(9) 5筒朱古力豆有250粒，4筒共有多少粒？

(10)2輛的士可載10人，16輛的士可載多少人？

反比例∶

(1) 小紅看一本兒童小說，每天看12頁，10天可以看完；如果每天看15頁，多少天可以看完？

(2) 一個車間裝配一批電視機，如果每天裝50臺，60天完成任務，如果要用40天完成任務，每天應裝多少臺？

(3) 生產一批零件，計劃每天生產160個，15天可以完成，實際每天超產80個，可以提前幾天完成？

(4) 一艘輪船，從甲港開往乙港，每小時航行25千米，8小時可以到達目的地．從乙港反回甲港，每小時航行20千米，幾小時可以到達？

(5) 用邊長20厘米的方磚鋪一塊地，需要2000塊，如果改用邊長為40厘米的方磚鋪地，需要多少塊？

(6) 運來一批紙裝訂成練習本，每本36頁，可訂40本，若每本30頁，可訂多少本？

(7) 一間房子用方塊鋪地,用8平方米的方磚鋪,需要240塊,如果改用10平方米的方塊磚,需要多少塊？

(8) 一堆煤用載重4噸的汽車運需20輛才能一次運完，如果改用載重5噸的汽車運，需要幾輛才能運完？

(9) 修一條公路，每天修900米,5天可修完，若要20天修完,每天修多少米？

(10)學生參加搬磚勞動，每人搬36塊，需要5人才搬完,照這樣計算，若果9人去搬，每人搬多少塊？

（17）正反比例函數思想總結

反比例函數y=k/x的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限或第二、四象限。

它們關于原點對稱、反比例函數的圖象與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠不與坐標軸相交。

畫反比例函數的圖象時要注意的問題：

（1）畫反比例函數圖象的方法是描點法;

（2）畫反比例函數圖象要注意自變量的取值范圍是k≠0，因此不能把兩個分支連接起來。

k≠0

（3）由于在反比例函數中，x和y的值都不能為0，所以畫出的雙曲線的兩個分支要分別體現出無限的接近坐標軸，但永遠不能達到x軸和y軸的變化趨勢。

反比例函數的性質：

y=k/x（k≠0）的變形形式為xy=k（常數）所以：

（1）其圖象的位置是：

當k﹥0時，x、y同號，圖象在第一、三象限;

當k﹤0時，x、y異號，圖象在第二、四象限。

（2）若點（m，n）在反比例函數y=k/x（k≠0）的圖象上，則點（—m，—n）也在此圖象上，故反比例函數的圖象關于原點對稱。

（3）當k﹥0時，在每個象限內，y隨x的增大而減小;

當k﹤0時，在每個象限內，y隨x的增大而增大;

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