初中幾何問題的思想總結|初中幾何問題的思想總結（實用14篇）

發表時間：2018-06-08

初中幾何問題的思想總結（實用14篇）。

? 初中幾何問題的思想總結 ?

定理1 關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形

　　定理2 如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線

定理3?兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上

逆定理?如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱

勾股定理 直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a^2+b^2=c^2

勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長a、b、c有關系a^2+b^2=c^2 ，那么這個三角形是直角三角形

定理四邊形的內角和等于360° .四邊形的外角和等于360°

多邊形內角和定理 n邊形的內角的和等于(n-2)×180°

　　推論任意多邊的外角和等于360°

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1、定義：一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形是梯形。兩腰相等的梯形是等腰梯形。一腰垂直于底的梯形是直角梯形

2、等腰梯形的性質：等腰梯形的兩腰相等;同一底上的兩個角相等;兩條對角線相等

3、等腰梯形的判定：兩腰相等的梯形是等腰梯形;同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形;兩條對角線相等的梯形是等腰梯形

六、三角形的中位線平行于三角形的第三邊并等于第三邊的一半;梯形的中位線平行于梯形的兩底并等于兩底和的一半。

七、線段的重心是線段的中點;平行四邊形的重心是兩對角線的交點;三角形的重心是三條中線的交點。

八、依次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形。

1、多邊形：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。

3、多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。

4、多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。

5、多邊形的分類：分為凸多邊形及凹多邊形，凸多邊形又可稱為平面多邊形，凹多邊形又稱空間多邊形。多邊形還可以分為正多邊形和非正多邊形。正多邊形各邊相等且各內角相等。

6、正多邊形：在平面內，各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。

7、平面鑲嵌：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用多邊形覆蓋平面。

9、多邊形外角和定理：

(1)n邊形外角和等于n·180°-(n-2)·180°=360°

(2)邊形的每個內角與它相鄰的外角是鄰補角，所以n邊形內角和加外角和等于n·180°

10、多邊形對角線的條數：

(1)從n邊形的一個頂點出發可以引(n-3)條對角線，把多邊形分詞(n-2)個三角形

1、不在同一直線上的三點確定一個圓。

③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧

8、到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓

9、定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等

10、推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應的其余各組量都相等。

11、定理：圓的內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內對角

13、切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

17、切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角

(2)經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形

23、定理：任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓

25、定理：正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形

28、如果在一個頂點周圍有k個正n邊形的角，由于這些角的和應為360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化為(n-2)(k-2)=4

33、推論1同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等

34、推論2半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;90°的圓周角所對的弦是直徑

35、弧長公式l=a*ra是圓心角的弧度數r>0扇形面積公式s=1/2*l*r

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《數學課程標準》指出：使學生逐步形成簡單的幾何形體的形狀、大小和相互位置關系的表象，能夠識別所學的幾何形體，并能根據幾何形體的名稱再現它們的表象，培養初步的空間觀念。學生在學習幾何知識的過程中，重視對物體的原有感知，逐步掌物物體的形狀、特征、大小和相互位置關系，并以此為材料進行思維，將圖形、表象進行加工、組合，逐步培養和發展空間觀念。因此，學會這部分教材對于學生培養空間觀念，發展思維力、想象力，有著十分重要的意義。它同時也為學生以后學習幾何知識打下扎實的基礎。但是，在概念教學中往往存在以下兩個問題：一是忽視概念的形成過程，教師往往把一個新的概念和盤托出，讓學生死記硬背法則、定義;二是忽視概念間的聯系，把許多本來有聯系的概念，拆散成一粒粒散落的珠子，分散、孤立地保存在學生的腦海里，沒能將珠子串成項鏈，概念不成系統，不能幫助學生形成良好的認知結構。要改變這些問題，我覺得應該以鍛煉和發展學生的“思”為主線，把“看”、“動”、“練”、“理”有機地串聯成一個思維體系，從而順利達到“通”的目的。具體來講就是：

看—全面觀察。實踐證明：兒童接觸事物，探究事物的本質屬性，經常是從觀察開始和發現的。在現實生活中，學生對簡單圖形已有初步了解，如書的封面是長方形，紅領巾是三角形，文具盒是長方體……，但他們對此的了解往往是表面的、模糊的，還不能說出其本質特征，往往是口欲言而無聲。所以教學時，我因勢利導，結合教學內容，充分利用實物、模型和多媒體等教學手段，豐富學生表象。引導學生用眼看、用手摸，做到上下、左右、前后和正反進行全面、仔細地觀察，以此加強直觀教學，加深學生對物體的初步認識，使他們由具體物體的形狀在大腦中形成表象，繼而上升為概念，初步培養或形成空間觀念。

動—動手操作。楊振宇博士說：“中國的兒童不如歐洲和美國的兒童動手興趣濃，主要原因是沒有動手的機會?！逼鋵崉邮植僮魇前褧镜韧庠谥R內化為自己知識的橋梁。由于小學生生性喜歡動手操作，而且抽象思維依賴于動作思維或形象思維展開，因此動手操作對小學生掌握知識、技能，培養動手能力，提高學習興趣積極性等都有一定的實踐意義。所以教學時，我盡量組織學生開展“剪”“拼”“量”“擺”“數”“做”等的實踐活動，引導學生自己動手做出物體模型，學會對圖形或模型進行分解、組合、平移、翻轉等轉化方法，使他們在動眼、動手、動腦、動口等親身體驗中加深對幾何形體的感化方法，進一步理解掌握其本質特征，初步掌握幾何圖形面積的計算方法和轉化方法，同時也更進一步培養學生的空間觀念和想象能力。

如教學《圓柱體的側面積》一課時，我讓學生拿出自己的側面裱有彩紙(或自己在側面糊紙)的圓柱體，邊看邊摸說出其側面特征后提問：“你能用轉化的方法自己求出側面的面積嗎?”學生通過討論、操作，有的學生說：“我沿著一條高剪開，側面積轉化成一個長方形，長方形的長相當于側面積的周長(底面周長)，長方形的寬相當于側面的高，因為長方形的面積=長×寬，所以側面的面積側面=底面周長×高?！庇械耐瑢W說：“我沿著一條斜線剪開，側面轉化成一個平行四邊形，平行四邊形的底相當于側面的周長，平行四邊形的高相當于側面的高，因為平行四邊形的面積=底×高，所以側面的面積=底面周長×高。”。有的同學說：“我沿著高剪開，側面轉化成一個正方形，同樣得到側面的面積=底×高。”通過操作，學生不但發現了展開后的特例(正方形是特殊的長方形)，豐富了側面的表象，而且通過眼、手、口、腦多種感官協調作用，學生主動、直觀地掌握圓柱體側面積的推導方法和計算方法，同時也潛移默化地交給學生一把開啟面積計算方法的鑰匙。實踐證明：讓學生用多種感官協調作用于同一事物，使具體事物的形象，在頭腦中得到全面的反映，就學習的學習性和主動性，增強學生學習的參與意識，激發學習興趣，活躍課常氣氛，使學生以飽滿高漲的熱情投入學習，取得最佳的學習效果。

練—鞏固訓練。通過全面觀察和動手操作，學生對幾何知識初步理解和掌握后，為了把知識轉化成技能，形成能力，教師必須精心設計習題進行鞏固訓練。教學時教師要注重精講多練，注意數形緊密聯系，逐步做到“物體——圖形——表象——物體”的循環，使學生看到圖形名稱就想象出物體形狀、特征和計算方法等，并能解決一些實際問題，不斷開拓思路，增強思維的靈活性，增強空間觀念及其理解應用能力。

如：圓柱體體積習題的設計，首先我說圓柱體，讓學生閉眼想象各種形狀的異同和計算方法，再根據具體圖形說出圖形名稱和所需數據后計算，使學生能依據直觀圖形幫助分析理解，然后逐步過渡到只根據圖形名稱和數據計算，使他們能再現圖形的表象來幫助分析、理解題目，然后只出示圖名稱和數據間的關系讓學生獨立解題。最后出示圓柱體或實際生活中的問題，要求學生量出所需數據再計算。這樣通過分層練習，逐步培養學生的空間觀念及其理解、應用能力。

理—系統梳理。實踐證明：學生對于散亂、零碎的知識容易遺忘或發生混淆。因此在一定階段的學習之后，我及時對知識進行歸納、整理，串點成線，舉一反三，擴線成面，形成網絡，并使之根植于學生原有的知識體統中，使學生更進一步理解和掌握幾何圖形的本質特征和相互之間的聯系與區別，進一步增強空間觀念及其理解、應用能力。

通—觸類旁通。為了促進事物的整體形象在頭腦中得到全面深刻的反映，使學生更深刻地認識幾何圖形的本質特征，促進空間觀念的形成，教師要注意溝通幾何圖形的內在聯系，注意知識的綜合運用，使學生能由此及彼、觸類旁通。因此教學時，我充分結合學生的認識規律，由淺入深，由易到難，適時歸納出圖形的本質特征，及時溝通知識間的內在聯系，幫助學生分辨異同，達到溝通、同化知識，增強理解及其應用的能力。

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17 三角形內角和定理三角形三個內角的和等于180°

22 邊角邊公理(sas) 有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等

23 角邊角公理( asa)有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等

24 推論(aas) 有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等

26 斜邊、直角邊公理(hl) 有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等

30 等腰三角形的性質定理等腰三角形的兩個底角相等 (即等邊對等角)

33 推論3 等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°

34 等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊)

37 在直角三角形中，如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

40 逆定理和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上

43 定理 2 如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線

44 定理3 兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上

45 逆定理如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱

46 勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a^2+b^2=c^2

47 勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、c有關系a^2+b^2=c^2 ，那么這個三角形是直角三角形

48 定理四邊形的內角和等于360°

49 四邊形的外角和等于360°

50 多邊形內角和定理 n邊形的內角的和等于(n-2)×180°

51 推論任意多邊的外角和等于360°

65 菱形性質定理2 菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角

70 正方形性質定理2正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角

72 定理2 關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分

73 逆定理如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關于這一點對稱

78平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等

80 推論2 經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊

81 三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半

82 梯形中位線定理梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半 l=(a+b)÷2 s=l×h

83 (1)比例的基本性質如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d

84 (2)合比性質如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d

85 (3)等比性質如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b

86平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例

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“變換”是幾何畫板中的重要命令，這里的技巧是非常多的，要變換，就要有所依據，所以在實施變換之前，一定要先“標記”，可以標記中心，可以標記向量，可以標記比等等，選定要變換的圖形，按照標記，進行相應的變換。其他軟件的變換很多都不符合數學的要求，有時我們需要復制一個圖形，并且要求復制的圖形會隨著原始圖形的變化而變化，這一點絕對不是CTRL+C和CTRL+V所能實現。如下圖就是利用變換命令制作的等于已知角的另一個角。

在很多的繪圖軟件中都提供了顏色填充的工具，在幾何畫板中卻沒有在工具欄中提供這一工具，其實這是它的特點，因為幾何畫板中的圖形是要變動的，填充顏色的部分也要隨之而變化。

首先，要選定添加顏色的圖形，如圖形是一個圓，則選擇菜單“構造”中的“圓內部”;如圖形是一個多邊形，則選擇菜單“構造”中的“多邊形內部”;如圖形是一段弧，選擇菜單“構造”中的'“扇形內部或弓形內部”。這里要說明一點，為多邊形添加顏色，一定要選擇多邊形的頂點，選擇邊是沒有用的。

前面提到的畫點工具，可以畫出兩種點，一種是自由點，即可以不受任何限制地到處移動的點，還有一種是可以在一定的范圍內移動的點，例如，畫好一個圓后，在圓上畫上一個點，那么這個點只能在這個圓上移動，不能離開此圓。

下面是另外一種點的畫法，選擇“繪圖”中的“繪制點”，在出現的窗口中可以輸入要畫的點的坐標，在上方有兩種選擇，一種是“直角坐標系”，選擇它就表示該點是在直角坐標系里面;第二種是“極坐標系”，選擇它就表示該點是在極坐標系里面。

在數學中，有很多重要的圖形，像圓、圓弧、橢圓、雙曲線、拋物線等等，在幾何畫板中如果想使用某些圖形，需要我們結合畫板的基本功能和數學的有關知識來制作，下圖是一個利用幾何畫板制作的橢圓。

利用“軌跡”命令可以得到下圖中的橢圓，其他無用的對象最后可以隱藏起來。其中的數學原理是到兩個定點距離之和為一個常數的點的軌跡是橢圓。具體教程可參考：怎樣利用橢圓定義構造橢圓。

幾何畫板啟動之后左邊是默認的工具欄，從上至下依次是：選擇工具、點工具、圓工具、畫線工具、多邊形工具、文本標簽工具、標記工具、信息工具、自定義工具。要使用工具，只要用鼠標的左鍵選中相應的工具即可。

當在工作區畫出某個圖形時，圖形都有系統默認的名稱，如果看不到，可以用“文本工具”在圖形上單擊一下即可，再單擊，名稱消失;如果想修改名稱，則雙擊名稱，在出現的窗口中輸入新的名稱就可以了。另外，在工具欄中有一些隱藏的工具，選擇工具有“平移、旋轉、縮放”，畫線工具有“畫線段、畫射線、畫直線”，調出隱藏工具的方法是左鍵單擊對應按鈕，按住左鍵不放，在右側出現其他工具，再將鼠標箭頭移到想選擇的工具上，松開左鍵即可。

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1、應該充分應用情境導入

學生的數學學習內容應該是現實的、有意義的、富有挑戰性的。因為只有用學生熟悉的、有興趣的、貼近他們現實生活的內容進行教學，才能喚起他們的學習興趣，調動學習積極性，使學生感受到生活與數學知識是密不可分的，使數學課富有濃郁的生活氣息，從而產生學生的探求數學的動機，主動應用數學去思考問題、解決問題。

2、概念的分析不夠到位

互余和互補的概念重在區別共頂點的角的關系和不公頂點的角的關系，及數的關系和形的關系。只只注重數的關系，而忽略了形的關系，是教學的缺陷。

總之，本次活動對我而言，是一次寶貴的學習機會，令我受益匪淺，感慨良多，希望自己能多參加這樣的活動，學習別人的長處，不斷提高自己的業務水平。

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《幾何畫板》是一個適用于幾何（平面幾何、解析幾何、射影幾何等）教學的軟件平臺，它為老師和學生提供了一個觀察和探索幾何圖形內在關系的環境。它以點、線、圓為基本元素，通過對這些基本元素的變換、構造、測算、計算、動畫、跟蹤軌跡等，構造出其它較為復雜的圖形。

下載地址：幾何畫板

《幾何畫板》最大的特色是“動態性”，即：可以用鼠標拖動圖形上的任一元素（點、線、圓），而事先給定的所有幾何關系（即圖形的基本性質）都保持不變。

舉個簡單的例子。我們可以先在畫板上任取三個點，然后用線段把它們連起來。這時，我們就可以拉動其中的一個點，同時圖形的形狀就會發行變化，但仍然保持是三角形。再進一步，我們還可以分別構造出三條形的三條中線。這時再拉動其中任一點時，三角形的形狀同樣會發生變化，但三條中線的性質永遠保持不變。這樣學生就可以在圖形的變化中觀察到不變的規律：任意三角形的三條中線交于一點。

但當老師說“在平面上任取一點”時，在黑板上畫出的點卻永遠是固定的。所謂“任意一點”在許多時候只不過是出現在老師自己的頭腦中而已。而《幾何畫板》就可以讓“任意一點”隨意運動，使它更容易為學生所理解。所以，可以把《幾何畫板》看成是一塊“動態的黑板”?！稁缀萎嫲濉返倪@種特性有助于幫助學生在圖形的變化中把握不變的幾何規律，深入幾何的精髓。這是其它教學手段所不可能做到的，真正體現了計算機的優勢。

另一方面，利用它的動態性和形象性，還可以給學生創造一個實際“操作”幾何圖形的環境。學生可以任意拖動圖形、觀察圖形、猜測并驗證，在觀察、探索、發現的過程中增加對各種圖形的感性認識，形成豐厚的幾何經驗背景，從而更有助于學生理解和證明。因此，《幾何畫板》還能為學生創造一個進行幾何“實驗”的環境，有助于發揮學生的主體性、積極性和創造性，充分體現了現代教學的思想。

《幾何畫板》的操作非常簡單，一切操作都只靠工具欄和菜單實現，而無需編制任何程序。在〈幾何畫板〉中，一切都要借助于幾何關系來表現，因此用它設計軟件最關鍵的是“把握幾何關系”，而這正是老師們所擅長的；但同時這也是它的局限性：它只適用于能夠用幾何模型來描述的內容―例如幾何問題、部分物理、天文問題等。

用《幾何畫板》開發軟件的速度非常快。一般來說，如果有設計思路的話，操作較為熟練的老師開發一個難度適中的軟件只需5-10分鐘。正因為如此，老師們才能真正把精力用于課程的設計而不是程序的編制上，才能使技術真正地促進和幫助教學工作，并進一步推動教育改革的發展。

由此可見，《幾何畫板》是一個“個性化”的面向學科的工具平臺。這樣的平臺能幫助所有老師在教學中使用現代教育技術，也能幫助學生更好地把握學科的內在實質，培養他們的觀察能力、問題解決能力，并發展思維能力?？梢哉J為，類似《幾何畫板》這樣的平臺代表著教育類工具軟件的一個發展方向。

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一、跨年你們跨吧，我不跨了，像我這種腿長的，我怕一下跨到2037年。

二、如果記憶都與你背通而馳的時候，只有影子會一如既往的跟著你。

三、所有不合時宜的相遇啊，都遺憾的讓人心疼。

四、用打麻將的心態做事業，沒有不成功的！

五、你就不要讓手機天天對著你了，它也要息屏，有點自己的空間。

六、你媽媽教過你禮尚往來嗎教過啊其實我喜歡你，你往來一下

七、回這么慢，墳頭信號不好嗎？飛鴿傳書都比你快。

八、腳背沒什么感覺的一點好處大概就是雖然被馬蜂蟄了，但是也沒有多痛吧，就是包有點大。

九、待我長發齊腰，少年我勒死你可否？

十、曾想過要一輩子廝守，而時間卻成了愛情的殺手。　

十一、大晚上吃了大碗麻辣燙，深深的罪惡感，吃的肚子都不舒服了。

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基本簡介：

等腰直角三角形的邊角之間的關系：

(1)三角形三內角和等于180°;

(2)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和;

(3)三角形的一外角大于任何一個和它不相鄰的內角;

(4)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊;

(5)在同一個三角形內，大邊對大角，大角對大邊。

等腰直角三角形中的四條特殊的線段：角平分線，中線，高，中位線。

(1)三角形的角平分線的交點叫做三角形的內心，它是三角形內切圓的圓心，它到各邊的距離相等。

(三角形的外接圓圓心，即外心，是三角形三邊的垂直平分線的交點，它到三個頂點的距離相等)。

(2)三角形的.三條中線的交點叫三角形的重心，它到每個頂點的距離等于它到對邊中點的距離的2倍。

(3)三角形的三條高的交點叫做三角形的垂心。

(4)三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的二分之一。

(5)三角形的一條內角平分線與兩條外角平分線交于一點，該點即為三角形的旁心。

注意：

①任意三角形的內心、重心都在三角形的內部。

②鈍角三角形垂心、外心在三角形外部。

③直角三角形垂心、外心在三角形的邊上。(直角三角形的垂心為直角頂點，外心為斜邊中點。)

④銳角三角形垂心、外心在三角形內部。

⑤任意三角形的旁心一定在三角形的外部。

直角三角形的相關線段：

1、中線：頂點與對邊中點的連線，平分三角形。

2、角平分線：平分三角形一內角的線段。

3、高線：三角形中一頂點向對邊作的垂線。

等腰梯形的知識點

定義

一組對邊平行(不相等)，另一組對邊不平行但相等的四邊形叫做等腰梯形。顧名思義，等腰梯形是兩腰相等的梯形，它是梯形的一種特殊情況。

判定

1、以下判定可作為定理使用：

(1)一組對邊相等且不平行，另一組對邊平行的四邊形是等腰梯形。

(2)同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形。

(3)對角線相等的`梯形是等腰梯形。

(4)兩腰相等的梯形是等腰梯形。

以下判定不作為定理使用：

(1)對角線相等且能形成兩個等腰三角形的四邊形是等腰梯形。

(2)對角互補的梯形是等腰梯形。

面積公式

對于等腰梯形，其面積計算方法與普通梯形一致。用a、b、h分別表示梯形的上底、下底、高，S表示梯形的面積，則S=(a+b)×h÷2。

通俗的說，梯形的面積=(上底+下底)×高÷2。

特殊情況

1、若等腰梯形對角線互相垂直，則面積為1/2乘以兩對角線長度的乘積。

2、在已知中位線情況下，等腰梯形的面積等于中位線的長度乘以高。

棱柱的知識點

棱柱的定義

有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。兩個互相平行的平面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的'側面。兩個側面的公共邊叫做棱柱的側棱。側面與底的公共頂點叫做棱柱的頂點，不在同一個面上的兩個頂點的連線叫做棱柱的對角線，兩個底面的距離叫做棱柱的高。

棱柱的性質

①棱柱的各個側面都是平行四邊形，所有的側棱都相等，直棱柱的各個側面都是矩形，正棱柱的各個側面都是全等的矩形;

②與底面平行的截面是與底面對應邊互相平行的全等多邊形;

③過棱柱不相鄰的兩條側棱的截面都是平行四邊形。

棱臺的定義

用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫做棱臺，原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面。

棱錐的定義

如果一個多面體的一個面是多邊形，其余各個面是有一個公共頂點的三角形，那么這個多面體叫棱錐。在棱錐中有公共頂點的各三角形叫做棱錐的側面，棱錐中這個多邊形叫做棱錐的底面，棱錐中相鄰兩個側面的交線叫做棱錐的側棱，棱錐中各側棱的公共頂點叫棱錐的頂點。棱錐頂點到底面的距離叫棱錐的高，過棱錐不相鄰的兩條側棱的截面叫棱錐的對角面。

按照棱錐底面多邊形的邊數可將棱錐分為：三棱錐

? 初中幾何問題的思想總結 ?

教學設計思想：

本節內容是通過學生動手實踐去培養學生的空間思維能力。在教學中，如果忽略了學生的動手操作而冷冷而談，很容易讓學生覺得幾何很難，而對幾何有厭學的狀態。因此，在這節課中通過學生動手操作，將預先準備好的柱體和錐體進行展開和拼合，讓學生在動手中體驗立體圖形是由平面圖形所圍成的，進而讓學生通過展開的平面圖進行探討，總結出柱體和錐體的表面展開圖的特點。同時通過動畫演示，加深了學生的空間想像的印象，大大調動了學生的積極性。特別是一道思考題和互問互檢自編題，讓學生各顯神通，發表自己的看法，創設情景，根據本堂課所學的知識編一些生動有趣的題，這是本節課中讓我感受最深的一點。

教學目標：

1．知識與技能

進一步認識立體圖形與平面圖形的關系；

知道一個立體圖形展開的方式不同，得到的平面圖形也不相同，以及計算相關幾何體的側面積與表面積。

2．過程與方法

在學習中要多動手進行實物操作，多觀察分析，體驗由立體圖形到展開圖和由展開圖到立體圖形的變化過程。

3．情感、態度與價值觀

加強動手操作能力，提高觀察、分析能力。

發展空間想象能力。

教學重點：常見幾何體的展開與折疊及其有關計算。

教學難點：常見幾何體的展開與折疊及其有關計算。

教學方法：教師引導，學生自主學習。

教學媒體：電腦、投影儀、紙片、圓規、量角器。

教學安排：2課時。

教學過程：

第一課時：

Ⅰ.創設問題情景，引導學生觀察、設想、導入新課

1．演示圓柱體與圓錐體的側面展開圖。（參看課件圓柱、圓錐）

[教學說明]：復習立體圖形的側面展開圖為平面圖形。

2．剛才演示的只是立體圖形的側面展開情況，但在實際生活中，常常需要了解整個立體圖形展開的形狀，例如要制作一個常見的粉筆盒（手舉粉筆盒），只知道它的側面展開圖是不夠的，因為它還有上下兩個底，那么，將粉筆盒展開后是什么圖形呢？

Ⅱ.學生通過直觀感知、操作確認等實踐活動，加強對立體圖形的認識和感知

活動1：

某外包裝盒的形狀是棱柱，它的兩底面都是水平的，側棱都是豎直的（這樣的棱柱叫做直棱柱）。沿它的棱剪開、鋪平，就得到了它的平面展開圖。

教師課前可以準備一個六棱柱的模型，現在給學生演示由幾何體展開得到他的平面圖形。

然后教師提出問題：

問題1：這個棱柱有幾個側面？每個側面是什么形狀？

問題2：這個棱柱的上、下底面的形狀一樣嗎？它們各有幾條邊？

問題3：側面的個數與底面圖形的邊數有什么關系？

問題4：這個棱柱有幾條側棱？它們的長度之間有什么關系？

問題5：側面展開圖的長和寬分別與棱柱地面的周長和側棱長有什么關系？

教師通過實例展示，學生很容易回答上述問題（教師可以挑選中下等的學生回答）。

[教法]：上面所給的五個問題的結論，實際上是直棱柱的性質與特點，建議讓學生通過觀察模型進行直觀感受。

活動2：

1．制作圓錐并計算其相關的量。

（1）在紙上畫一個半徑為6cm，圓心角為216的扇形。

（2）將這個扇形剪下來，按下圖所示圍成一個圓錐。

（3）指出這個圓錐的母線的長，并求圓錐的高和底面的半徑（粘合部分忽略不計）。

第一問與第二問讓學生自己親自動手操作，教師巡視，發現問題時引導學生。

第三問再讓學生思考，得出結論：圓錐的母線長恰是扇形的半徑長，圓錐的底面周長是扇形的弧長。

設圓錐的底面半徑為r，

在Rt△SOD中，

2．下圖是四個幾何體的平面展開圖，請用紙分別復制下來，按虛線折疊，圍成幾何體，并指出圍成的幾何體的形狀。

學生動手，通過實際動手操作，觀察通過折疊，都能圍成什么樣的幾何體。

學生回答：分別是四棱柱、四棱錐、三棱錐、三棱錐。

[教法]：目的是培養學生動手操作的能力。

Ⅲ.練習

1．下列各圖是幾何體的平面展開圖，請按圖中虛線進行折疊，并說出折疊后形成的幾何體的形狀。

2．下列圖形分別是兩個幾何體的平面展開圖，請分別將它們圍成幾何體，并說出這個幾何體的形狀。

答案：1．（1）正方體；（2）正方體；（3）三棱柱；（4）五棱柱。

2．圓錐和圓柱。

Ⅳ.課堂小結

本節課主要是通過學生親自動手操作，了解棱柱的主要特點，了解棱錐、棱柱的側面展開圖，掌握各個量的關系。

板書設計：

課題：

一、創設情境，引入主題三、練習

二、新授四、總結

活動1：

活動2：

第二課時：

Ⅰ.師：上節課我們一起通過實踐的方法了解了常見幾何體的展開圖，現在我們就在此基礎上來進一步學習如何應用幾何體的展開圖。

活動1：

參看下面這個例題：

1．圖37-38和圖37-39分別是某幾何體的三視圖。（單位：mm）

（1）請分別說出它們所對應的幾何體的名稱。

（2）分別計算這兩個幾何體的表面積。

（3）小明認為，圖37-39所示三視圖所對應的幾何體的表面積，就是圖37-39中的兩個主視圖、兩個左視圖和一個俯視圖的面積的和。你認為小明的想法正確嗎？為什么？

教師與學生一起探究：

（1）分別為圓柱和底面是等腰三角形的三棱柱。

（2）圓柱的表面積是。

首先，計算柱體三個側面的面積。其中一個側面面積為 20xx=800（mm2）。

另兩個側面面積是相同的，每個側面的長為44mm，寬為。

這個側面的面積為。

其次，計算兩個底面的面積和：

所以，三棱柱的表面積是

（3）這種想法是不對的。三視圖是一種正投影，受擺放位置的影響，各視圖的形狀與其所對應的幾何體的表面形狀可能不一致，因此，不能簡單地用視圖的面積去計算幾何體的表面積。

[教法]：目的是體會幾何體與其展開圖之間的區別與聯系。

2．一個外形為長方形的紙箱的大小如下圖所示（單位：cm），一只昆蟲要從紙箱的頂點A沿表面爬到另一個頂點B，它沿哪條路線爬行的距離最短？請說明理由，并求出這個最短距離。

觀察下面小亮解答問題的過程，想一想他的解法是否正確。為什么？

小亮是這樣回答的：

將紙箱看成長方體，它的平面展開圖如圖37-41所示。連結AB，根據兩點間線段最短，可知線段AB就是昆蟲爬行距離最短的路線。

在Rt△ACB中，根據勾股定理，有AB=

教師分析：從最后結論看，小明的解答是正確的，但他分析問題的過程還不全面。

因為從A處沿紙箱表明到B處有無數條路線可走。而供選擇的最短路線只有3條。即

（1）昆蟲沿面EDCA和面EDBG從A處到B處，展開圖如圖37-41所示。最短距離是小亮所求的值。

（2）昆蟲沿左側面和上面EDBG從點A到點B，展開圖1所示。最短距離為

（3）昆蟲沿面EDCA和面DBFC從點A到點B，展開圖2所示。最短距離為

比較上面（1）（2）（3）的距離知，最短路線是沿面EDCA和面EDBG從A到B的折線。

教師給同學們演示螞蟻在幾何體上爬行路線（參看視頻：螞蟻）

活動2：

師：通過上面例題的分析，我們思考這道題如何解答：

一個直六棱柱的上、下底面分別是邊長為1cm的正六邊形，側棱長為10cm，請計算它的表面積。

讓學生自己思考，通過畫圖來觀察各個量之間的關系，然后計算。

Ⅱ.練習

1．用膠滾子沿從左到右的方向將圖案涂到墻上，在下面給出的四個圖案中，用圖示的膠滾子涂出的圖案是哪個？

2．一個棱柱的展開圖如圖所示，AB=3cm，AC=5cm，

（1）請指出它是幾棱柱。

（2）請計算它的.側面積。

Ⅲ.課堂小結

本節課是在上節課所學的基礎上，即通過幾何體的展開圖確定和制作立體模型，再在此基礎上計算相關幾何體的側面積和表面積。

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板書設計：

課題（2）

一、活動1：活動2：

1．

二、練習

2．三、小結：

? 初中幾何問題的思想總結 ?

幾何數學是初中數學中重要且基礎的部分，對學生的邏輯思維、幾何思維和問題解決能力的培養起著重要作用。因此，建立一套科學、系統、有趣的初中幾何數學教學計劃對于學生的數學素養提高至關重要。

一、教學目標：

1. 幫助學生掌握幾何數學的基本概念、定理和方法；

2. 培養學生的幾何思維、分析問題和解決問題的能力；

3. 培養學生的團隊協作能力和創新精神；

4. 激發學生對數學的興趣和熱愛。

二、教學內容：

教學內容應包括平面幾何和空間幾何兩部分。

1. 平面幾何：

(1) 平面幾何基本概念的引入：點、線、面等概念的引入，通過實例講解概念的內涵和外延，讓學生能夠理解并運用這些基本概念。

(2) 圖形的性質和分類：直線、折線、射線的性質及其分類；平行和垂直線的判定方法。

(3) 三角形與四邊形：不同類型三角形和四邊形的性質及其判定方法；三角形和四邊形的面積計算方法。

(4) 圓與圓的應用：圓的性質，弧長和扇形面積的計算，使用圓來解決實際問題。

(5) 相似形的性質與判定：相似三角形的性質與判定，相似三角形的應用。

(6) 坐標系與平面圖形：二維坐標系的建立和運用，平面圖形的坐標表示和坐標變換。

2. 空間幾何：

(1) 立體圖形的性質和分類：不同類型的立體圖形（如長方體、正方體、圓錐、圓柱等）的性質、特征與分類。

(2) 空間坐標系與空間圖形：三維坐標系的建立和運用，空間圖形的坐標表示和坐標變換。

(3) 空間幾何的計算：空間圖形的體積、表面積和側面積的計算方法。

(4) 直線與平面的位置關系：直線與平面的交點判定，相交線與平面的關系分析。

(5) 空間幾何的應用：運用空間幾何的知識解決實際問題，如體積的計算、平房與圍墻的設計等。

三、教學方法：

1. 啟發教學法：引導學生通過觀察、實踐和思考，自己發現幾何性質和定理，培養學生的幾何思維和數學思維能力。

2. 群體教學法：通過小組合作學習，培養學生的團隊協作和溝通能力，激發學生的合作學習興趣。

3. 創新教學法：通過問題解決、研究性學習和實踐應用，激發學生的創新思維和發散思維，培養學生的問題解決能力和創新意識。

4. 多媒體教學法：運用多媒體教學手段，豐富教學內容，提高教學效果，增加學生的學習樂趣。

四、教學過程安排：

1. 理論講解：通過清晰明了的講解，向學生傳授幾何數學的基本概念、定理和方法。

2. 實例演練：通過具體實例，引導學生鞏固所學知識，培養學生的分析問題和解決問題的能力。

3. 問題拓展：提出一些拓展性問題，引導學生運用所學知識解決問題，培養學生的創新思維和批判性思維能力。

4. 小組合作：通過小組合作學習的方式，讓學生在小組中共同探討問題、解決問題，培養學生的團隊協作和溝通能力。

5. 實踐應用：通過實際問題和情境，引導學生將所學知識應用到實際生活中，培養學生的問題解決能力和應用能力。

五、教學評價與反饋：

1. 成績評價：通過作業、測試和考試等形式，對學生的學習情況進行評價。

2. 過程評價：通過課堂表現、小組合作和課堂練習等形式，對學生的參與程度和學習態度進行評價。

3. 反饋與輔導：根據評價結果，及時給予學生反饋和輔導，幫助他們提高學習效果和解決學習困難。

六、教學資源：

1. 教材：根據教學大綱，選用合適的教材，如《初中數學》等。

2. 多媒體教具：使用PPT、電子白板等多媒體教具，豐富教學內容，提高教學效果。

3. 圖書、實物與模型：使用圖書和實物教具，讓學生能夠直觀地感受幾何數學的概念和性質，加深理解。

4. 網絡資源：利用網絡課程和數學教育網站等資源，拓寬教學途徑，豐富學生的學習資源。

通過以上的初中幾何數學教學計劃，我們能夠建立一套科學、系統、有趣的教學體系，幫助學生掌握幾何數學的基本概念、定理和方法，培養學生的幾何思維、分析問題和解決問題的能力，激發學生對數學的興趣和熱愛，并為學生今后的學習打下堅實的基礎。

? 初中幾何問題的思想總結 ?

直線：直線沒有端點；長度無限；過一點可以畫無數條，過兩點只能畫一條直線。

線段：線段有兩個端點，它是直線的一部分；長度有限；兩點的連線中，線段為最短。

平行線：在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。兩條平行線之間的垂線長度都相等。

垂線：兩條直線相交成直角時，這兩條直線叫做互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線,相交的點叫做垂足。

從直線外一點到這條直線所畫的垂線的長叫做這點到直線的距離。

1、從一點引出兩條射線，所組成的圖形叫做角。這個點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊。

平角：角的兩邊成一條直線，這時所組成的角叫做平角。平角180°。

周角：角的一邊旋轉一周，與另一邊重合。周角是360°。

對邊相等，4個角都是直角的四邊形。有兩條對稱軸。

（1）特征：

四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形。有4條對稱軸。

由三條線段圍成的圖形。內角和是180度。三角形具有穩定性。三角形有三條高。

直角三角形：有一個角是直角。等腰三角形的兩個銳角各為45度，它有一條對稱軸。

等腰三角形：有兩條邊長度相等；兩個底角相等；有一條對稱軸。

等邊三角形：三條邊長度都相等；三個內角都是60度；有三條對稱軸。

兩組對邊分別平行的四邊形。

相對的邊平行且相等。對角相等，相鄰的兩個角的度數之和為180度。平行四邊形容易變形。

只有一組對邊平行的四邊形。中位線等于上下底和的一半。等腰梯形有一條對稱軸。

平面上的一種曲線圖形。圓中心的一點叫做圓心。一般用字母o表示。半徑：連接圓心和圓上任意一點的線段叫做半徑。一般用r表示。在同一個圓里，有無數條半徑，每條半徑的長度都相等。通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用d表示。同一個圓里有無數條直徑，所有的直徑都相等。同一個圓里，直徑等于兩個半徑的長度，即d=2r。圓的大小由半徑決定。圓有無數條對稱軸。

把圓規的兩腳分開，定好兩腳間的距離（即半徑）；

把有針尖的一只腳固定在一點（即圓心）上；

把裝有鉛筆尖的一只腳旋轉一周，就畫出一個圓。

圍成圓的曲線的長叫做圓的周長。

把圓的周長和直徑的比值叫做圓周率。用字母∏表示。

一條弧和經過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。圓上AB兩點之間的部分叫做弧，讀作“弧AB”。頂點在圓心的角叫做圓心角。

在同一個圓中，扇形的大小與這個扇形的圓心角的大小有關。

由兩個半徑不相等的同心圓相減而成，有無數條對稱軸。

如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側的圖形能夠完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形。折痕所在的這條直線叫做對稱軸。

六個面都是長方形（有時有兩個相對的面是正方形）。相對的面面積相等，12條棱相對的4條棱長度相等。有8個頂點。

相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長、寬、高。兩個面相交的邊叫做棱。三條棱相交的點叫做頂點。

把長方體放在桌面上，最多只能看到三個面。長方體或者正方體6個面的總面積，叫做它的表面積。

六個面都是正方形六個面的面積相等 12條棱，棱長都相等有8個頂點

圓柱的上下兩個面叫做底面。圓柱有一個曲面叫做側面。圓柱兩個底面之間的距離叫做高。

進一法：實際中，使用的材料都要比計算的結果多一些，因此，要保留數的時候，省略的位上的是4或者比4小，都要向前一位進1。這種取近似值的方法叫做進一法。

圓錐的底面是個圓，圓錐的側面是個曲面。從圓錐的頂點到底面圓心的距離是圓錐的高。

測量圓錐的高：先把圓錐的底面放平，用一塊平板水平地放在圓錐的頂點上面，豎直地量出平板和底面之間的距離。

球的表面是一個曲面，這個曲面叫做球面。球和圓類似，也有一個球心，用O表示。

從球心到球面上任意一點的線段叫做球的半徑，用r表示，每條半徑都相等。

通過球心并且兩端都在球面上的線段，叫做球的直徑，用d表示,每條直徑都相等,直徑的長度等于半徑的2倍，即d=2r。

? 初中幾何問題的思想總結 ?

教學目標：

1、使學生理解切割線定理及其推論；

2、使學生初步學會運用切割線定理及其推論．

3、通過對切割線定理及推論的證明，培養學生從幾何圖形歸納出幾何性質的能力；

4、通過對切割線定理及其推論的初步運用，培養學生的分析問題能力．在上節我們曾經學到相交弦定理及其推論，它反映了圓中兩弦的數量關系；我們可以用同樣的方法來研究圓的一條切線和一條割線的數量關系．

教學重點：

使學生理解切割線定理及其推論，它是以后學習中經常用到的重要定理．

教學難點：

學生不能準確敘述切割線定理及其推論，針對具體圖形學生很容易得到數量關系，但把它用語言表達，學生感到困難．教學過程：

一、新課引入：

我們已經學過相交弦定理及其推論，現在我們用同樣的數學思想方法來研究圓的另外的比例線段．

二、新課講解：

現在請同學們在練習本上畫O，在O外一點P引O的切線PT，切點為T，割線PBA，以點P、B、A、T為頂點作三角形，可以作幾個三角形呢？它們中是否存在著相似三角形？如果存在，你得到了怎樣的比例線段？可轉化成怎樣的積式？現在請同學們打開練習本，按要求作O的切線PT和割線PBA，后研究討論一下．

學生動手畫圖，完成證明，教師巡視，當所有學生都得到數量關系式時，教師打開計算機或幻燈機用動畫演示．

最終教師指導學生把數量關系轉成語言敘述，完成切割線定理及其推論．

1．切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．

2關系式：PT=PA·PB

2．切割線定理推論：從圓外一點引圓的兩條割線．這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等．

數量關系式：PA·PB=PC·PB．

切割線定理及其推論也是圓中的比例線段，在今后的學習中有著重要的意義，務必使學生清楚，真正弄懂切割線定理的數量關系后，再把握定理敘述中的“從”、“引”、“切線長”、“兩條線段長”等關鍵字樣，定理敘述并不困難．

練習一，P．128中

1、選擇題：如圖7-86，O的兩條弦AB、CD相交于點E，AC和DB的延長線交于點P，下列結論成立的是[]

A．PC·CA=PB·BDB．CE·AE=BE·EDC．CE·CD=BE·BAD．PB·PD=PC·PA答案：(D)，直接運用和圓有關的比例線段進行選擇．

練習二，P．128中

2、如圖7-87，已知：Rt△ABC的兩條直角邊AC、BC的長分別為3cm、4cm，以AC為直徑作圓與斜邊AB交于點D，求BD的長．

此題已知Rt△ABC中的邊AC、BC，則AB可知．容易證出BC切O于C，于是產生切割線定理，BD可求．

練習三，P．128中3．如圖7-88，線段AB和O交于C、D，AC=BD，AE、BF分別切O于E、F．

求證：AE=BF．

本題可直接運用切割線定理．

例3P．127，如圖7-89，已知：O的割線PAB交O于點A和B，PA=6cm，AB=8cm，PO=．

求O的半徑．

此題要通過計算得到O的半徑，必須使半徑進入一個數量關系式，觀察圖形，可知只要延長PO與圓交于另一點，則可產生切割線定理的推論，而其中一條割線恰好經過圓心，在線段中自然可以參與進半徑，從而由等式中求出半徑．必須使學生清楚這種數學思想方法，結合圖形，正確使用和圓有關的比例線段，則關系式中必有兩條線段是半徑的代數式構成，只要解關于半徑的一元二次方程即可．

解：設O的半徑為r，PO和它的長延長線交O于C、D．

(+r)=6×14r=(取正數解)答：O的半徑為．

三、課堂小結：

為培養學生閱讀教材的習慣，讓學生看教材P．127—P．128．總結出本課主要內容：

1．切割線定理及其推論：它是圓的重要比例線段，它反映的是圓的切線和割線所產生的數量關系．需要指出的是，只有從圓外一點，才可能產生切割線定理或推論．切割線定理是指一條切線和一條割線；推論是指兩條割線，只有使學生弄清前提，才能正確運用定理．

2．通過對例3的分析，我們應該掌握這類問題的思想方法，掌握規律、運用規律．

四、布置作業：

1．教材P．132中10；2．P．132中11．